Codingame.com Puzzle of the Week: Paper folding curve
一张纸,一直保持向同一个方向对折,然后将折痕展成直角。从侧面看去,纸的折角会构成一个折线。 从纸的一端出发到另一端,每碰到一个折角,用1表示向左折,0表示向右折,则所有折角会构成一个1与0组成的序列,称为折叠序列。比如折一次是1,折两次是110,依次类推。 给定折叠次数,要求输出折叠序列中自s至e号元素(0-index,均包含)。
首先,不妨假定我们每次都向左对折,因为如果是向右,我们可以从另一侧观察,则还是向左对折。然后我们来研究下序列的特点。
由1及题设,第$2^n$个元素值恒为1。由1+2,序列的对折点所在是其实是第$2^{n-1}$个元素。又由2+3,序列关于$2^{n-1}$号元素对称,左半部分又关于$2^{n-2}$号元素对称,依次类推。转换成数学语言,用$f(i)$表示序列中第$i$号元素的值,则:
\begin{equation} \begin{split} f(2^n)&=1,,&n=0,1,\ldots \\ f(2^n+x)&=\sim f(2^n-x),,&0<x<2^n,,n>1 \end{split} \end{equation}
其中"~"表示将值取反。所以如果我们已经得到了序列前$2^n$项的值,我们就能根据对称性得到$2^{n+1}$项的值,写成伪代码如下:
// 写出前7项
result = '1101100'
while len(result) < e + 1
result += '1' + reverse_and_flip(result)
end
print(result[s:e])
时间复杂度为$8+16+\cdots=O(N)$,其中$N=2^n$为全序列长度。提交运行,前面都能PASS,但当s, e都非常大时挂了,果然还是太朴素。
我一直在思考:序列某个元素的值由前面的某个值得到,而前面的某个值又由更前面的某个值得到,最后的种子其实就是最开始的几个元素。我们浪费了很多时间在生成不需要输出的结果上。本能觉得,对某个特定元素,可能可以仅通过它的序号,在$O(1)$的复杂度上得到值。说干就干,继续找找规律。由上述的公式,我进一步发展,当$x\neq2^{n-1}$时, \begin{equation} \begin{split} f(2^n+x)&=\sim f(2^n-x) \\ &=\sim f(2^{n-1}+(2^{n-1}-x)) \\ &=f(2^{n-1}-(2^{n-1}-x))=f(x) \end{split} \end{equation}
当$x=2^{n-1}$时,
$$f(2^n+x)=\sim f(2^{n-1})=0$$
Exciting! 如果我们把元素序号用二进制表示的话,通过以上方法,我们就能使序号快速缩小(去掉首位的1)到一个很小的数,进而得到它的值。具体地:
伪代码如下:
result = ''
// 修正0 - index到1 - index
for i in [s + 1:e + 1]
// i是2的幂,快速返回
if i & (i - 1) == 0
result += '1'
break
end
// 去掉末位的0
while i & 1 == 0
i >>= 1
end
if i & 3 == 3 // 11结尾
result += '0'
else // 01结尾
result += '1'
end
end
print(result)
时间复杂度近似为$O(e-s)$。
一开始从一个实际问题出发,最后得出了一个简洁的数学表达,果然是代码令我愉快。完整代码(Python)见 https://github.com/frostming/Codingame/blob/master/Puzzle-of-the-Week/paper_folding_curve.py