大家好,我是历小冰,也是张狗蛋,原张狗蛋的技术之路的博主。
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新的微信公众号叫程序员历小冰,历冰是我在蚂蚁金服实习时的花名,也是我比较喜欢电视连续剧中主角的化名。可怜的张狗蛋,他一定会再回来的。??
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原文发布在CSDN上,链接在文末中有。以下在原文的基础上略加修改。
最近一直在阅读《SICP》,然后下午做其中的习题2.6,对其题意很不理解,于是搜索了相关资料,不禁如题设所说感到如雷灌顶,特此记录下来,以供大家阅读和交流。
请考虑,在一个可以对程序做各类操作的语言中,我们完全可以没有数(至少是没有整数,比如说0,1,2)的情况下,可以将 zero 和加一操作实现为:
(define zero (lambda (f) (lambda (x) x))) # 定义zero
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x))))) # 定义加一操作
上述语言是LISP,同学们不必了解其语法,也能大致了解语句的含义。下一小节中会做出具体的解释。
这一表现形式称为 Church 计数,也就是丘奇数,名字来源于其发明人数理学家 Church,请直接定义 one 和 two(不使用 zero 和 add-1 )(提示:利用代换法去求值)。请给出加法过程 + 的一个直接定义(不要反复应用 add-1 )
说实话,我一直没有看懂题目中关于 zero 和 add-1 的定义,于是我搜索了相关资料。下边就结合资料谈一下它的概念。
首先要明确的是丘奇数中的 zero,one 并不等同于数值上的 0, 1, 2。你可以理解为它是零概念的一种表现形式。换句话说,它就是零的函数式表现形式,而整数0则是零的数值表现形式。我们先来看一下丘奇数中 zero,one 和 two 的表现形式。
(define zero
(lambda (f) (lambda (x) x)))
(define one
(lambda (f) (lambda (x) (f x))))
(define two
(lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))
我们会发现 zero,one 和 two 都是一个函数,它接收 (f) 作为参数,其返回结果是一个接收 (x) 作为参数的函数。大家可能需要注意的是,(f) 在这里显然也是一个函数,在 LISP 中函数是可以作为输入参数的。然后我们会发现 zero,one 和 two 的区别好像就是 (f) 函数被使用的次数。 zero 中 (f) 没有被使用,one 中 (f) 使用了一次,two 中 (f) 使用了两次。丘奇数就是用这个次数来表示 0, 1, 2 的概念。
我们可以实验一下检验一下
(define (inc n) (+ n 1)) ;inc是加一操作,作为zero的参数,返回一个函数,作用于数字0
> ((zero inc) 0)
0
> ((zero inc) 1)
1
> ((one inc) 1)
2
> (((add-1 one) inc) 1)
3
我们定义一个过程 inc 就是数值意义上的加一,然后使用 zero, one和 add-1 发现确实如同我们所想的,zero 表示 inc 过程不会被使用,返回原数值;one 表示 inc 被使用一次,返回加一的数值。
我们来使用替换法通过 add-1 和 zero 来求解 one 吧,求解 two 的过程类似。
(add-1 zero)
;展开add-1定义
(lambda (f) (lambda (x) (f ((zero f) x))))
; 替换zero
(lambda (f) (lambda (x) (f ((lambda (x) x) x))))
; 简化,因为((lambda (x) x) x)就等于x
(lambda (f) (lambda (x) (f x)))
首先我们要明白丘奇数加法的含义,我们先记其加法为 add-church ,那么如下代码所示,最后一个过程得出的值应该是多少呢?
> ((one incr) 1)
2
> ((two incr) 1)
3
> (((add-church one two) incr) 1)
?
根据猜测,应该是4吧。因为 one 表示 incr 对 1 这个数值使用一次,two 标示使用两次,那么将二者加起来,那么就应该是 three 的含义啦,就是表示 incr 对 1 这个数值使用 3 次,那么就是 4 啦。
add-church 的实现如下
(define (add-church m n)
(lambda (f) (lambda (x) ((m f) ((n f) x)))))
(define (add-1 n)
(lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x))))) # 定义加一操作
如果你将其与 add-1 进行对比,你会发现 add-1 中的 f 变成了(m f) ,如果把 add-1 中的 f 记住(one f),你可能就会更加理解。
比如 (f) 为 incr 函数,(n incr) 的结果就是一个进行 n 次 incr 的函数,(incr ((n incr) x)) 就是在 (n incr) 的基础上再进行一次 incr,所以就表示了 add-1 操作。所以((m incr) ((n incr) x))就代表在 (n incr) 的基础上再进行 m 次 incr,所以就是 add-church 操作。
那么大家思考一下, add-m 应该如何表示呢?