三分钟基础：举个例子读懂原码、反码与补码

来源：编程拯救世界

作者：江子抑

先来看一道 Go 语言中简单的运算题(虽然是Go，但应该看的懂)：

package main

import "fmt"

func main() {        // 相当于平时的 int8 a = -128
        var a int8 = -128
        var b = a / -1
        fmt.Println(b)
}

在 Go 语言中，int8 代表有符号 8 位整数。你觉得输出结果是什么呢？我们在文末再公布答案，在此之前，我们先来回顾一下有符号整数是什么。

有符号整数

一个数在计算机中的二进制表示称为机器数，这个机器数是带符号的。它的最高位是符号位，0 代表正数，1 代表负数。

以 8 位有符号整数为例，0000 0001 代表十进制中的 1，1000 0001 则代表十进制中的 -1。

那么，你可能会问了：这样一来，8 位有符号整数的可表达范围应当是 [1111 1111, 0111 1111]，即 [-127, 127]，但实际上它的可表达范围却是 [-128, 127]，那么 -128 又从何而来呢？

想要理解 -128 的来历，我们还要知道原码、反码和补码的概念。

原码、反码和补码

计算机需要使用特定的编码方式存储数据，原码、反码和补码都是一种特定的编码方式。以下示例均以 8 位二进制数举例。

原码

原码[1]是「未经更改的码」，指一个二进制数左边加上符号位后所得到的码。

• 当二进制数大于 0 时，符号位为 0
• 当二进制数小于 0 时，符号位为 1

-127 和 127 的原码表示

因此，用这种编码方式表示有符号的 8 位二进制数，它的取值范围是 [1111 1111, 0111 1111]，即 [-127, 127]。

如果我们使用原码计算 (+1) + (-1) 会得到什么结果呢？

(+1) + (-1) = 

0000 0001（原码） 
+
1000 0001（原码）
=
1000 0010（原码） 
=
(-2)

What? 等于 -2 了？这显然是错误的答案。

反码

为了解决「正负数相加」的问题，人类又发明了反码[2]。

反码的表示方式为：

• 正数的反码等于它的原码
• 负数的反码则保留其原码符号位，然后对其他位进行取反操作

取反操作：将 0 变为 1，1 变为 0。

原码 -> 反码

此时，用反码来计算 (+1) + (-1)：

(+1) + (-1) = 

0000 0001（反码） 
+
1111 1110（反码） 
= 
1111 1111（反码） 
=
(-0)

我们知道，0 的原码是 0000 0000 或 1000 0000，0 的反码就是 0000 0000 或 1111 1111。即在反码中，1111 1111 象征 -0，我们终于求出了正确的结果。

补码

但反码的表示方法中存在着 +0 和 -0 两个零，我们希望只有一个 0，所以补码[3]出现了。

补码的表示方式为：

• 正数的补码是其本身
• 负数的补码是在它的反码基础上加 1

原码 -> 反码 -> 补码

由于 +1 的操作，必将出现进位，如果进位超过长度限制，最高位就会丢失。

会发生最高位丢失的数就是 -0 的反码表示 1111 1111，它的补码为 1 0000 0000。由于长度是 8 位，最高位的 1 已经溢出，所以丢弃，-0 的补码就成了 0000 0000，和刚才我们所提到的 +0 完美重合了！

用补码来计算 (+1) + (-1)：

(+1) + (-1) = 

0000 0001（补码） 
+
1111 1111（补码） 
= 
0000 0000（补码） 
=
(0)

答案正确！

因此，计算机内部使用补码方式表示负数，因为它让「正数 + 负数」也能使用同一套加法规则，使得所有的加法运算可以使用同一种电路完成。

-128 的由来

上面我们说到如果用补码的方式进行表示，-0 就不存在了，为了让有限的位数尽可能表示更多的数，省下的 1000 0000 就用来表示 -128 了。

让我们用补码来计算一下 (-1) + (-127)：

(-1) + (-127) = 

1000 0001（原码）+
1111 1111（原码）
=
1111 1110（反码）+
1000 0000（反码）
=
1111 1111（补码）+
1000 0001（补码） 
=
1 1000 0000（补码）
=
1000 0000（丢弃最高位）
= 
(-128)

(-1) + (-127) 的结果正是 -128。但由于 1000 0000 是 -0 的补码，所以 -128 没有与之对应的原码和反码表示。

公布答案

好了，让我们再回头看一下开头的那段代码：

package main

import "fmt"

func main() {
        var a int8 = -128
        var b = a / -1
        fmt.Println(b)
}

显而易见了：int8 的可表示范围是 [-128, 127]，所以可以被赋值为 -128。而 (-128) / (-1) = 128 显然超过了该表示范围，+128 用有符号整数表示需要 9 位，表示为 0 1000 0000，最高位的 0 已经溢出，所以丢弃，导致结果是 1000 0000，即 -128。

所以这段代码的输出结果就是 -128 啦~

总结

• int8 表示有符号 8 位整数，它的可表示范围是 [-128, 127]
• 计算机内部使用补码方式表示负数
• 补码解决了 +0 和 -0 并存的问题，并省下 -0 的表示方法，多表示了一个最低数 -128
• 补码使得所有整数集都能使用同一套加法规则
• 如果发生溢出，多出的高位将被截取

文内引用

[1] 维基百科-原码: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E7%A0%81 [2] 维基百科-反码: https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%8F%8D%E7%A0%81 [3] 维基百科-补码: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E7%A0%81