卷积是怎么【卷】的
前言：
现在人工智能很火，但是它的数学门槛让很多人都望而却步，今天这篇文章就以很通俗的语言来讲解了卷积，希望对大家有所帮助。
卷积，这个词大家应该都不陌生，数学中傅立叶变换的时候，物理中信号处理的时候，图像处理中滤波的时候、提取边缘的时候，还有深度学习中卷积神经网络的时候，处处可见卷积的影子。卷积在图像处理中的应用非常广泛，可以说理解了卷积，就可以理解图像处理算法的半壁江山，也不知道这个说法是否夸张了。
但是都说卷积卷积，那卷积到底是怎么个卷法呢？本文尝试解答这一问题。
理解的卷积计算过程
想要理解卷积，一些必要的数学公式是少不了的，放心吧，就下面这一个公式了，所有讨论围绕这一个公式展开。
我们从维基百科中对于卷积的解释引入：
设：, 是 上的两个可积函数，作积分： 可以证明，关于几乎所有的 ，上述积分是存在的。这样，随着 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数 ，称为函数 与 的卷积，记为 。
我们提取下重点公式写在下面，记为公式1：
以上公式1最令人迷惑也是最需要注意的部分在于，在等式的左边，自变量是，然而等式的右边自变量却变成了，更令人疑惑的是——右边自变量不是是也就算了,竟然还出现了一个。
那么问题来了，和，到底哪个在变？还是两个都在变？如果是都在变，那到底是怎么个变法？
这些问题还是需要慢慢道来。我们先看一个卷积稍微通俗一点的解释。
卷积
（1）即是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子。
（2）表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的的曲边梯形的面积。
上面两句话都非常重要，我们从第二句话开始看，第二句话中包含了以下四个重点信息：
- 翻转
- 平移
- 乘积
- 积分（函数围成的面积不就是积分么？）
我们一个一个来看。先看右边，我们不妨先令， 也就是不变而变的情况。于是公式1就变成了公式2：
1. 翻转
先看翻转，怎么翻转一个函数呢，想一下最简单的，不难发现，翻转之后即为。我用Python画出了这俩函数的图像，看起来更为直观。
f(x)-f(-x)
2. 平移
然后看一下一个函数如何平移，仍然以为例，回一下我们中学学过的数学知识，也许还能记起来，就是由向右平移得到的。我们仍然以图说话，用Python作图如下，分别取值为。
f(t-x)
3. 乘积
现在我们只看公式的右边部分：
现在我们可以知道就是翻转之后又向右平移了个单位。这时候需要考虑另一个函数了。这里 我们继续举个例子，不妨令。
我们继续用Python画出如下图所示：
fg
4. 积分
现在是较为完整的公式3的样子了，这里为了能够更好地表达，我们把区间从改为，即画出
int
注意了，在上面的所有过程中，一直是不变的，变的是。即我们上面一直是在做的是公式2右边的计算，公式2如下：
不论怎么变化，最后一旦积分，等式右边就成了一个确定的数字，一个常量。
趣谈编程注：积分确定了上下限，面积也就随之确定了。
一个对应一个嘛。此时我们可以继续看公式左边了，我们直接看公式1：
左边换下位置我们也许会更好理解，即。也即之前提到的一句话：卷积即是通过两个函数和生成第三个函数的一种数学算子。
总结一下，卷积计算过程可以分解为四步：翻转、平移、乘积、积分。
卷积为什么叫“卷积”？
1. 卷积之【卷】
那么问题来了？卷积为什么要叫“卷积”呢？换言之，卷积之“卷”和卷积之“积”分别是什么含义？
这里想像一下如果我们要卷起一张A4纸，需要怎么做？
（1）首先我们需要提起对着自己一条边，向上翻转使之对着自己身体前方——翻转！
卷纸0
（2）然后继续向下打个圈之后，就可以向前推了——平移！
卷纸1
看到没？翻转！平移！
你肯定还记得上面说的卷积计算的四个过程：翻转、平移、乘积、积分。卷积之“卷”，你明白了吗？
本文完
什么？还不能走？你想要画图的源码？
# coding:utf-8
"""
Author: CVPy-冰不语
Date: 2019/11/26
"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义函数f(x)
def f(x):
"""$f\ (\\tau)$"""
return x
# 定义函数g(x)
def g(x):
"""$f(x)=sin(x)$"""
return np.sin(x/10)
# 设置坐标系
def set_ax(ax):
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['bottom'].set_color('deepskyblue')
ax.spines['left'].set_color('deepskyblue')
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
ax.set_xticks(np.arange(-100,101, 50))
# ax.set_yticks(np.arange(-100,101, 50))
return ax
if __name__ == "__main__":
# x的取值范围
x = np.arange(-100, 100, 0.1)
# ---------第一幅图：f(x)和f(-x)----------
fig = plt.figure(figsize=(6, 6))
# 左边画f(x)
ax1 = fig.add_subplot(121)
ax1 = set_ax(ax1)
ax1.plot(x, f(x), 'orange', label=f.__doc__)
plt.legend(loc="upper left", bbox_to_anchor=[0, 1],
ncol=1, fancybox=True)
# 右边画f(-x)
ax2 = fig.add_subplot(122)
ax2 = set_ax(ax2)
plt.plot(x, f(-x), 'orange', label="$f\ (-\\tau)$")
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第二幅图：f(t-x)----------
fig2 = plt.figure(figsize=(6, 6))
ax3 = fig2.add_subplot(111)
ax3 = set_ax(ax3)
ax3.set_xticks(np.arange(-100, 101, 20))
ax3.set_yticks(np.arange(-100, 181, 20))
for t in [20, 40, 60, 80]:
plt.plot(x, f(t-x), label="$f\ (x_0 - \\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第三幅图：g(x) * f(t-x)----------
t = 80
def f_mul_g(x, t):
"""$f(\\tau-x)*g(\\tau)$"""
return f(t-x)*g(x)
fig3, ax4 = plt.subplots()
ax4 = set_ax(ax4)
ax4.set_xticks(np.arange(-100,101, 20))
# ax4.set_yticks(np.arange(-100,181, 20))
plt.plot(x, f_mul_g(x, t), label=f_mul_g.__doc__)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
# ---------第四幅图：g(x) * f(t-x)的积分----------
import matplotlib.patches as mPatches
def int_fg(x, t, ax5):
ax5 = set_ax(ax5)
plt.plot(x,f_mul_g(x, t), 'orange', label="$f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \ x_0={0}$".format(t))
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1],
ncol=1, fancybox=True)
a = -50
b = 50
ix = np.linspace(a,b)
iy = f_mul_g(ix,t)
verts = [(a,0)] + list(zip(ix, iy)) + [(b,0)]
poly = mPatches.Polygon(verts,color='deepskyblue')
ax5.add_patch(poly)
# plt.plot(x,g(x),label=g.__doc__)
plt.text(30, 50, '$\int_a^b f\ (\\tau)*g(x_0-\\tau) \ \ x_0={0}$'.format(t), style='oblique',
bbox={'facecolor': 'orange', 'alpha': 0.5, 'pad': 5}, fontsize=15)
fig4, ax5 = plt.subplots()
int_fg(x, t, ax5)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.ion()
# for i in range(100):
# y = np.random.random()
# plt.autoscale()
# plt.scatter(i, y)
# plt.pause(0.01)
fig4, ax5 = plt.subplots()
tn = np.arange(-100,100,5)
for t in tn:
plt.cla()
plt.grid(True)
plt.autoscale()
int_fg(x, t, ax5)
plt.pause(0.01)
plt.legend(loc="upper right", bbox_to_anchor=[1, 1], ncol=1, fancybox=True)
plt.show()
以上文章来源于CVPy，作者CVPy冰不语
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