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引言
本文是金融工程系列的第九篇
金融产品的估值调整分两类:
本帖讲凸性调整,先介绍什么是凸性,再定性分析得到远期和期货之间的差异,最后定量分析计算各类期货的凸性调整项。
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凸性
在利率市场要了解凸性,我们必须了解欧洲美元期货(Eurodollar Futures, EDF)市场与远期利率协议(Forward Rate Agreement, FRA)市场之间的相似之处。这两个市场都是高流动性的大市场,对短期利率定价有很大的影响。
凸性偏差(convexity bias)的产生的本质就是期货市场与远期市场之间的收益差异,如下图所示。
EDF 合约的支付函数为 Nfut ×(1 – 0.25F),其中 Nfut 是本金1,000,000 美元,F 是期货利率。当 F 上升 1 个基点(basis point)即 0.01%,那么 EDF 合约价格变动 –0.25Nfut×∆F = -25美元,EDF 合约买方像卖方支付25 美元。
见上面左图,EDF 合约价格和 EDF 基础利率有线性关系,即对于 1 单位的利率变动,价格变动是常数,具体来说
由于有折现影响,FRA 合约价格和利率没有这样的线性关系,而是呈现上面右图的凸性关系。期货利率和远期利率的关系可参考〖变量计算〗一贴。
弄清了凸性偏差产生的原因后,接着就要调整凸性,即做凸性调整(convexity adjustment),有定性(qualitive)和定量(quantitative)两种方法。
2
定性方法
定义在 t 时点观测到 T 开始 U 结束的远期利率 L 和期货利率 F:
当 t = 0 时,远期和期货利率之间的差异为
一般折现因子 D(0,U) 和利率 L(T) 成反比,因此两者之间的协方差小于零,因此期货利率 F(0) 大于远期利率 L(0)。证明如下:
我们可写出
除了远期和期货利率之间的有以上关系,远期和期货价格之间也有类似关系,如下
这些价格可以是股票或者商品价格,到期日只有一个 T,上面关系可转换成下面的数学表达式
有时候,在股票或商品市场上假设利率不是随机的,那么折现因子也不是随机的,那么折现因子和即期价格的协方差为零,这时远期价格等于期货价格。证明如下:
一般折现因子 D(0,T) 和即期价格 S(T) 成正比,因此两者之间的协方差大于零,因此期货价格 Fut(0,T) 小于远期价格 Fwd(0, T)。
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定量方法
3.1
理论推导
定性方法可以大概分析出不同资产类别下面的凸性调整项(CA 项)的符号,要精确计算其值还需要定量方法。以利率类举例,计算在 Q-测度下的远期利率:
接着就是用各种利率模型(Black, Hull-White (HW) 或者 HJM)来推导 P(T,U) 了。
以 HW 模型举例,在 Q-测度下,短利率(short rate)r(t) 服从以下随机微分方程(Stochastic Differential Equation, SDE):
其中 κ(t) 是均值回归速率,σr(t) 是短利率的波动率,而 θ(t) 是均值水平。为了能使 HW 模型计算出来的折现因子和市场曲线匹配,θ(t) 应该被校正为
其中 f(0, t) 是瞬时远期利率,表达式为 f(0,t) = -∂lnP(0, t)/∂t,本帖后面详细讲解如何计算它。
上面 θ(t) 太过于复杂了,通过定义 x(t) = r(t) – f(0, t),我们可在后面去掉它。这时推出 x(t) 的随机微分方程如下:
推导出 HW 模型下的零息债价格 P(t,T) 为
上面结果是 Piterbarg 和 Andersen在【1】推导出来的,注意模型参数是和时间相关的。如果假设模型参数是常数的话,即 κ 和 σr,我们可以得到Brigo 和 Mercurio 在【2】推导出来的结果。
对比 Piterbarg 和 Andersen 的版本和 Brigo 和 Mercurio 的版本,我们发现
个人更喜欢 Piterbarg 和 Andersen 的版本,因为它更加通用和一致,尤其在高维的情况下。本小节为了符号简洁,便采用常参数,即用 Brigo 和 Mercurio 的版本。这时短利率 r(T) 的表达式化简如下:
根据随机微积分的性质,不难得到 r(T) 的均值和方差,以及 r(T) 和 r(U) 的协方差:
有了以上各种 r(T) 的统计量,我们可以计算在 Q-测度下的远期利率了。
最后一步我们用了性质:当 X 是正态变量时
E[exp(aX)]= exp(aE[X]+0.5a2Var[X])
上述公式适用于各类的基准利率,当
3.2
具体案例
IBOR 期货
IBOR 期货的基准利率一般都是 3 个月的 IBOR,用 L(T, T, U) 表示,其中 U 和 T 相差 3 个月。该利率在 Q-测度下的期望为
其中
需要注意的是,虽然 T 和 U 出现多次,但在 δ(T, U) 遵循 ACT/360 惯例,而在其它地方遵循 ACT/365 惯例。
在上式中,假设市场曲线零息利率 R(0, t) 是用一元三次条方法来插值,我们可以计算出 f(0, t),首先根据定义
假设 R(0, t) 的期限结构表示为:(t1,R1)、…、(tm,Rm)。对任一时点 t 属于 [tk-1, tk],曲线上的零息利率为:
其中 c3,k, c2,k, c1,k, c0,k 为 [tk-1, tk] 区间上三次多项式的系数。根据上式可计算 R(0, t) 的一阶导,如下:
这是我们可以任意时点 t 上的 f(0, t) 值了。
1 个月 OIS 期货
1 个月 OIS 期货包括 SOFR-1M 和 FedFund-1M期货,其支付基于在参考月(reference month)中每个工作日上隔夜利率的算术平均,将其平均利率定义为 R:
其中
当估值日为 ts,考虑历史定盘,利率 R 在 Q-测度下的期望为
注意 δi 是从 ti 到 ti+1遵循 ACT/360 惯例计算出来的年限,在本例中等于1/360。
3 个月 OIS 期货
3 个月 OIS 期货包括 SOFR-3M, EONIA-3M 和 SONIA-3M 期货,其支付基于在参考季度(reference quarter)中每个工作日上隔夜利率的几何平均,将其平均利率定义为 R:
其中
当估值日为 ts,考虑历史定盘,利率 R 在 Q-测度下的期望为
其中
RIBA 期货
RIBA 期货在斯特哥尔摩交易所交易的期限为 3 个月的期货,其支付基于在参考季度中每周利率的几何平均,将其平均利率定义为 R:
其中
当估值日为 ts,考虑历史定盘,利率 R 在 Q-测度下的期望为
其中
3.3
模型校正
HW 模型参数校正有两种方法:
如果基准利率(如 USD LIBOR 和 EUR EURIBOR 等等)有 Cap 和 Swaption 市场,那么用隐含波动率来校正参数。用 ATM Cap 波动率举例,最小化一系列 ATM Cap 的市场价格和模型价格之间的差异,来找出“最优” κ 和 σr
如果基准利率(如 SOFR OIS 和 FedFund OIS 等等)没有 Cap 和 Swaption 市场,那么用历史波动率来校正参数。首先推导出 HW 模型下零息利率的波动率 σHW(t, T) 表达式
再用零息利率的一年历史数据(260 工作日,t = -260, …, -1)上每个标准期限 {T1,…, Tk, …, TK} 上的值,计算历史波动率
最小化一系列标准期限的历史波动率和模型波动率之间的差异,来找出“最优” κ 和 σr
[1] Interest Rate Modeling. Volume 2: TermStructure Models, Chapter 10
Andersen L.B.G., Piterbarg V.V.
[2] Interest Rate Models – Theory and Practice,with Smile, Inflation and Credit, Chapter 3
Damiano Brigo, Fabio Mercurio
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