「优质题解」台球碰撞

这道题的地址，想尝试的小伙伴可以来试哦：

https://www.dotcpp.com/oj/problem1075.html

思路：

这个问题涉及到球在二维平面内的受边界限制的斜向运动，在写程序之前有几个问题要考虑： 　　a.我们最终所求的是球心坐标，而球与球桌碰撞时实际上是球的边界与球桌边界发生碰撞，并不是球心发生的碰撞，因此在研究这个问题时为了简化模型，可以将球转化为球心质点，并建立新的坐标系来研究球心的运动。 　　我们以原坐标系的点（R，R）作为新坐标系的原点（0,0）建立新坐标系，这样新坐标系中球心运动范围的长l和宽w都会相对于原先的L,W分别减小2R，如图所示：

　 b.现在我们在二维平面内的新坐标系下研究球心质点的运动。由于题目给出的角度a是任意的，球可能是向任意方向运动的，因此这里我们利用三角函数将球的运动分解为水平方向和竖直方向，可以看出在整个运动过程中球在水平和竖直方向上的运动速率（这里不指带有方向的速度，速度的方向可能在在碰撞后掉头）是恒定不变的。

　　c.速度分解后这个问题便可以转化为一维数轴上的边界碰撞问题。我们假设一个数轴上有一个质点在运动，它的运动范围是[0,10]，假设初始坐标是3,现在它可能向左或者向右进行运动，我们在已知它的运动位移的情况下来求解它的最终位置：

这里为了方便处理，我们做一个转化，把它的初始位置 3 看做是在这次运动前，是已经从原点出发向右移动了3个单位。看成从原点出发的好处是，我们可以求出它相对于原点的总运动位移后 直接加绝对值来将总位移直接全部转化为正值。 （解释一下：如果质点从原点出发，那么它发生5的位移和发生-5的位移是没有区别的，因为如果一开始就从原点向左走，立马会反弹为向右走。） 　　举个例子：假设质点从 3 开始发生-27的位移，也就相当于是从原点开始发生了（-27+3）=（-24）的位移，也就相当于从原点开始发生了24的总位移。 　　而数轴上质点的移动范围只有10，我们注意到如果质点发生10x2=20的位移，那么质点将会回到初始位置，因此在某个方向上边界范围的两倍实际上是一个运动周期，发生 24 的位移也就是发生 4 的位移。因此在这里例子里最终坐标为4。 　　所以我们只需要讨论在总位移中去除了若干个周期(本例子中的20)后的剩余位移。 　　若剩余的位移小于一个边界长度，例如这个例子中的边界长度为10，那么最终坐标就等于剩余位移大小；若剩余位移处于一个边界长度和两个边界长度之间，那么不难发现最终坐标就等于两个边界长度-剩余位移（例如从原点开始发生了17的位移，最终坐标为20-17=3）

　　综上所述：假设初始坐标为 x ，移动位移为 s ，边界长度为 L ，那么求解最终坐标的方法就是：先求出转化后的从原点出发的总位移 Dx，Dx=fabs（x+s）,之后若 Dx 大于 2L 则 Dx-=2L 直到 Dx小于2L,最后若 Dx小于L 则 Dx 即最终坐标，若 Dx介于2L和L之间 ，那么最终坐标为 2L-Dx 。 　　我们将这个方法推广到之前已经被分解过的二维平面运动中，即可分别求出x和y方向上的球心运动最终坐标（新坐标系中的），最后输出时再加上R即可转换回原坐标系中的坐标。

下面是代码：