Python3之弹性力学——应力张量2

问题

已知某应力张量的分量为

\[ \sigma_{11}=3,\quad\sigma_{12} = \sigma_{13} = 1, \quad \sigma_{22} = \sigma_{33} = 0, \quad\sigma_{23} = 2 \] 求

• 1、全部主应力
• 2、最大主应力对应的主方向
• 3、求方向矢量为 $\boldsymbol{n} = \left(0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ 的斜面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$。

应力张量

已知应力张量有如下形式

\[ \left[ \begin{array}{ccc} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 0 \end{array} \right] \]

求解

导入sympy模块

from sympy import *
init_printing(use_unicode=True)

Matrix对象表示应力矩阵

sigma = Matrix([[3, 1, 1], [1, 0, 2], [1, 2, 0]])
sigma

\[\left[\begin{matrix}3 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\1 & 2 & 0\end{matrix}\right]\]

1、求全部主应力

求特征值

• 调用 Matrix 对象的 eigenvals 方法

sigma.eigenvals()

\[\left \{ -2 : 1, \quad 1 : 1, \quad 4 : 1\right \}\]

• 冒号后的数字表示一重特征值

求特征矢量

• 调用 Matrix 对象的 eigenvects 方法

sigma.eigenvects()

\[\left [ \left ( -2, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}0\\-1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 1, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}-1\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 4, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}2\\1\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]\]

2、求最大主应力对应的主方向

最大主应力

\[\sigma_1 = 4\]

最大主应力对应的主方向

\[\dfrac{1}{\sqrt{6}}\left(2, 1, 1\right)\]

3、求斜面上的正应力 \(\sigma_n\) 和剪应力 \(\tau_n\)

方向矢量

\[\boldsymbol{n} = \left(0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

n = Matrix([[0], [1], [1]])/sqrt(2)
n

\[\left[\begin{matrix}0\\\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right]\]

应力矢量 \(\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{n}\)

T = sigma*n
T

\[\left[\begin{matrix}\sqrt{2}\\\sqrt{2}\\\sqrt{2}\end{matrix}\right]\]

正应力 \(\sigma_n = \boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{n}\)

sigma_n = T.T*n
sigma_n

\[\left[\begin{matrix}2\end{matrix}\right]\]

剪应力 \[\tau_n = \sqrt{T^2 - \sigma_n^2}\]

tau_n =sqrt(T.T*T - sigma_n**2)
tau_n

\[\left(\left[\begin{matrix}2\end{matrix}\right]\right)^{\frac{1}{2}}\]