专栏首页小强的进阶之路除了欧拉公式,这8个数学公式也足够美丽且神奇

除了欧拉公式,这8个数学公式也足够美丽且神奇

到底哪个是

最美的公式

1

概率分布公式

它的图像如下:

我对这个概率分布公式的认识是在上《普通物理》(我读书时大学物理叫做普通物理)时,记得是讲解气体分子的碰撞。

参加工作后,我在研发彩色玻璃着色技术时,需要把彩色玻璃粉料喷洒在红热的玻璃板带上,怎么喷也不均匀,总是中间浓两侧稀,且怎么调节喷涂设备的喷口都没有用。就在一筹莫展时,我到图书馆看书,偶然在一本数学书中看到了这个概率公式,突然明白我的喷涂设备出了什么问题了:原来这就是概率分布的特征,是自然规律。后来重新设计了喷头结构,解决了这个难题。

虽然概率分布公式本身并不美,可是用它改进了我的彩色玻璃喷涂设备,制作出来的玻璃却是美丽的:

2

著名的Mandelbrot集

这个式子一点也不美,但它的图像:

它的图像描绘了整个世界!!!

1980年当B.B.Mandelbrot第一次画出Mandelbrot集(以下简称M集)的图形以来,M集被认为是数学上最为复杂的集合之一,并吸引了大批科学家。然而至今在数学上还有很多没有解决的问题,如此复杂的现象出现在如此简单的、经典的迭代中,因此M集被称为“数学恐龙”。今天,M集已经成为混沌和分形最为重要的标志之一。

简单讲一下:

1是M集原图,象个甲壳虫。 2是在甲壳虫颈部放大,我们看到有数不清的芽孢,而且这些芽孢也呈现甲壳虫的模样。这就是分形的特征:细节与总体近似,叫做自相似。 3把这些芽孢放大,我们看到甲壳虫芽孢的细节。 4图把芽孢及周围细节再次放大,我们看到了环绕结构。 5图和6图把环绕结构两次放大,我们看到了惊人的细节结构。 7图中我们似乎又看到了甲壳虫。 8图看到甲壳虫周围的细节。 9图把甲壳虫头部放大,几乎和1图类似,这就是分形的自相似。 10图再次把甲壳虫颈部放大,我们看到了芽孢结构。 11和12把芽孢放大,我们看到了环绕结构。 13是环绕结构外围的一个点被放大。 14中我们看到双环绕结构。 15图中我们似乎再次看到了它内部的甲壳虫结构。

注意几点:

1.M集中所有的点都是连通的;

2.M集中存在自相似现象,这是分形的特征;

3.第15图叫做Julia集。J集与M集存在密切的相关性。

有人说,M集是一本书,而J集只是其中的一页。并且J集也存在自相似现象。

我在学校图书馆看到一本很老的书《混沌、分形及其应用》,是王东生和曹磊编著的,中国科学技术大学出版社出版。我不知道这本书是否有再版。有兴趣的知友可以去看这本书。

我们看这头猫,它也是分形。我们看到了自相似现象:

还有这幅图,我们能看到自相似现象,以及它的芽孢结构:

3

消逝量的鬼魂

这个公式,读过微积分的人无人不知无人不晓,是最牛的公式之一。

这个公式还有一个特殊的意义,叫做消逝量的鬼魂。据说,英国某位著名大主教说这个公式中出现的无穷小量代表着鬼魂。他说:我们在用这个公式证明时,一会儿让无穷小量等于零,一会儿又不让它等于零,可见无穷小量介于“在”与“不在”之间,可不就证明了鬼魂的存在吗?

后来,经过柯西等人的努力,用极限论的方法证明了无穷小量是以零为极限的变量,由此彻底地摒弃了鬼魂说。

另外,与这个公式有点关系的另外一个公式——牛顿-莱布尼茨公式,甚至还引起引起了国家之间的口水战。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a,b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a,b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式,1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式,于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

由于牛顿是英国人,莱布尼茨是德国人,两个国家当时又是敌对关系,于是围绕发明权双方的科学家发生争执,一直闹到两国的皇帝那儿,两位皇帝也争执不休,甚至以发动战争来威胁。这件事最后当然摆平了。可见,这个公式还是很有点历史价值的。

4

麦克斯韦公式

麦克斯韦方程组,是经典物理学的集大成者,也是大学物理中的精华和难点,而其应用也到了无所不在的程度。只要存在电磁现象,就一定要用到它,无论是手机,还是微波炉,或者是断路器(电磁操动和电磁脱扣器),甚至是高铁和动车,麦克斯韦方程组的运用无所不在。

从麦克斯韦方程组可以推导出欧姆定律,也许欧姆定律应当改为欧姆定理。欧姆定律U=IR在电学中的运用无所不在;从麦克斯韦方程组可以推出电磁电动力公式

,是计算电磁力的最基本公式。

曾经看过一本书,叫做《从牛顿到爱因斯坦》,书里把爱因斯坦仔细研究麦克斯韦理论的原因和过程解释得惟妙惟肖,让人深受启发。

难怪把麦克斯韦方程组列入改变人类命运的10个最伟大方程之中,当然就是最牛的公式之一了。

5

勾股定理

或者叫做毕达哥拉斯定理

勾股定理,它的应用已经到了无法统计的地步。我们看黄鹤楼的屋檐角和尖顶角,远处电视塔塔身的斜角,无以计数的屋顶倾角,可不都与勾股定理有关吗?

看下图:

我们看到热水杯顶盖的斜角,笔记本显示器的最大张角,书本封面的长宽比,这些都与勾股定理有关。还有ABB中A字两斜边的倾角,不知道和勾股定理有没有关系?

最有趣是公司一位德国工程师,他用游标卡尺来量自己的鼻子,然后用勾股定理和正弦函数,计算出自己鼻子相对颜面的角度,以证明自己鼻子有多大。尽管有点好笑,但这也是勾股定理的一项运用。

我们再来看看分形三角形。它里面有多少等边三角形和直角三角形?它们和勾股定理有关吗?

勾股定理,从古希腊时代就有了,它应当是最牛公式之首。

6

斐波那契黄金分割数列

也即1、1、2、3、5、8、13、21、……

F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥2,n∈N*)

斐波那契数列很有意思,它的后项等于前两项之和。并且,斐波那契数列与一道题关联起来了:

斐波那契数列在自然界有大量的实例,在计算中也有许多运用。

我们看向日癸的花盘:

花盘中的葵花子排列就是按斐波那契数列排布的。还有菊花,甚至菠萝和松子的排列也是。

据说,连海螺内部的螺旋也是。

有意思的是,虽然斐波那契数列是用自然数的排列,但它的通项公式却用无理数来表达,并且随着项数增大,它的后项与前项之比越来越接近黄金分割数0.618。于是,裴波那契数列与黄金分割挂上了钩。

我们看斐波那契数列后项与前项之比:

1/1=1,1/2=0/5,2/3=0.666……,5/5=0.6,5/8=0.625,……,

46368/75025=0.6180339886……。

我们来简单证明:

根据斐波那契数列的定义,有:

我们在上式的两边同时除以

,得到下式:

,设此式为1式。 我们先假设首项的极限存在,也即:

,于是有:

。 我们把结果代入1式,得到:

也即:

我们已经知道,

,求解上式:

这个结果恰好就是黄金分割之比。

据说达芬奇特别喜欢黄金分割数。于是在电影《达芬奇密码》中,黄金分割数成了电影的主线之一。

某次我到银行办事,一位老人家不知该如何选择银行卡密码,他说生日日期和身份证后六位都有可能泄密。我给他提建议,就用斐波那契数列的前六项吧,又好记,又不容易泄密,老人家欣然同意。至于这位老人家最后选什么密码,不得而知。

0.618这个数,与优选法有关。

不久前看华罗庚教授的传记,看到他在年龄已经很大时,在全国到处宣讲优选法,其核心就是0.618。0.618曾经在全国掀起一股技术革新浪潮,不管是选种,还是配方,甚至还有学生成绩归类,似乎都用0.618来分类优选。

有点意思吧。

7

有趣的时钟钟面刻度分析

这个钟面有点意思,它牵涉到许多有趣的数学公式。

1点钟: 1点钟其实是二进制的表示法。

,也即右边的第一位

位。

2点钟:

3点钟:

ASCII码的表达式。ASCII码表格如下:

因此有:

4点钟:

32除以7,余数是4。

5点钟:

5点钟就是前面的斐波那契数的应用。

6点钟:

7点钟:

8点钟:

这是二进制数。其中空心圆为1,实心圆为0,于是有:

9点钟:

这是4进制数。

10点钟:

11点钟:

16进制数的B就是十进制数的11。在MODBUS-RTU通信格式中必须加16进制数的后缀H。例如220V的电压可以写为:0XDCH。

十六进制数:

12点钟:

这个钟真的很有意思,考到这么多的数据格式,以及各种矩阵计算和斐波那契数的计算。

8

摆线方程曲线

摆线方程曲线有一个特点:我们用摆线构成滑雪坡道,则不管在这条坡道的任何地方开始下滑,到达终点的时间都是一样的。

如果真有这样的滑雪场滑道存在,非气死滑雪运动员不可!

本文分享自微信公众号 - 小强的进阶之路(xiaoqiang_code),作者:知乎

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原始发表时间:2020-01-02

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