科学提升认知方法之贝叶斯公式
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贝叶斯全名为托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes，1702-1761)，18 世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家，概率论理论创始人，贝叶斯统计的创立者，“归纳地”运用数学概率，“从特殊推论一般、从样本推论全体”的第一人。
前言
一群赌徒为了赢钱，琢磨出概率；一个神学家，为了弄清上帝会不会掷骰子，发明了从结果推导原因的统计学公式。这个世界是梦想和利益驱动的，贝叶斯公式将从统计学角度为我们打开一扇大大的门。
通过《女朋友生气是随机事件》我们探讨了一些有趣的概率知识，本篇文章将从贝叶斯公式出发，探究贝叶斯到底是啥，以及其在认知层面的巨大作用。不过据说每出现 1 个公式，文章阅读将下降 1/3。
华为大佬说：人工智能就是统计学。在我眼中，贝叶斯公式就是统计学走向机器学习的起点。
贝叶斯公式
贝叶斯定理（Bayes’s Rule）：如果有k个相互独立事件 A1,A2···，Ak 并且，P (A1) + P(A2) + ... + p(Ak)= 1 和一个可以观测到的事件 B，那么有：
这个就是贝叶斯公式，相当简洁。
公式中有几个关键概念： P(A)为先验概率，即在观察事件B之前得到的事件A的假设概率 P(A|B) 为后验概率，即在观察事件B后得到新数据后计算该假设A的概率 P(B|A)为似然度，即在该假设A下得到这一观察数据 B 的概率 P(B)为标准化常量，即在任何假设下得到这一观察数据 B 的概率
用一句人话表达则是：
后验概率 = 先验概率×似然度
说到贝叶斯，必然离不开条件概率。
01 / 条件概率
条件概率的公式
条件概率翻译过来就是事件B发生条件下A发生的概率,等于 AB 同时发生的概率比上 B 发生的概率。看着和贝叶斯及其相似, 实际上贝叶斯公式也是通过条件概率来证明的，具体就不赘述了。
02 / 贝叶斯公式 VS 条件概率
条件概率是频率统计思维，通过已知的信息去计算事件出现概率，我们称之为正向概率；贝叶斯公式反其道而行之，通过实验结果去反推出现实验结果的原因，我们称之为逆概率
上面这段话听着太拗口。我们用经典的摸球行为进行说明。
1
选择略微复杂点的场景：有两个桶，A 桶中有白球 7 个，黑球 3 个；B 桶中有白球 3 个，黑球 7 个。随机选择一个桶，有放回的抓球。
2
条件概率解决的问题是：摸到白球的概率是多少？
3
贝叶斯公式解决的问题是：我们摸 5 次，出现 3 次白球，2 次黑球，从 A 桶摸球的概率。
条件概率解法：
通过先验知识，我们可以知道随机选择一个桶概率 P(A)=P(B)=0.5 通过频率统计知识，我们可以算出条件概率 P(白球|A)=0.7 P(白球|B)=0.3 因此在已知知识的情况下，我们预测摸到白球的概率 0.5X0.7 + 0.3X0.7 = 0.5
贝叶斯公式解法：
那贝叶斯需要计算的是 P(A|x 球)，出现x颜色球条件下选择A桶的概率。我们从第一次摸白球开始计算。 P(A|白球 1) = P(A) x P(白球|A)/P(白球) = 0.5 x 0.7/0.5 = 0.7 这个结果的含义是第一次出现白球，则我们随机选择 A 桶的概率将从 0.5 变为 0.7
同样的计算第二次选择白球的概率 P(A|白球 2) = P(A) x P(白球|A)/P(白球) = 0.7 x 0.7/(0.7x0.7 + 0.3x0.3) = 0.8448 重复计算下来，可以得到 A 桶的概率是 0.7 即可以理解为每次不同的观察结果，对于原因会产生影响。白球增加 A 桶的概率，黑球减少 A 桶的概率。
可以看到贝叶斯更加符合我们认知世界的方式。现实世界中，我们往往能观察到大量的现象，我们更加关心现象背后的原因。比如一段文本出现大量的特征，我们会去判断是不是垃圾邮件；比如一个女生同意和你吃饭，是不是对你有好感。
贝叶斯与认知
上面的例子偏向于太学术。按照人话来看贝叶斯公式其实就是 后验概率 = 先验概率×似然度。 简单的，我们认知一个新的事物前，先验概率就是我们的感性认知。似然度则是我们需要深度思考，去认真对待的调节因子。
可以看到：
- 似然度 > 1, 加强先验概率/感性认知
- 似然度 = 1，后验概率=先验概率
- 似然度 < 1, 减弱先验概率/感性认知
从上面的例子可以看到，似然度的影响因子主要有两个：一是增加新数据的量，二是增加新数据的质。
依然举个栗子： 男同学追女同学，总会好奇女孩子是否对自己有兴趣。
自恋的同学会说，我的女神一直看我，肯定对我有好感。
理性的同学将这个场景转化为贝叶斯公式：P(好感|看我)= 先验感觉 * 似然度。 从理性角度，先验经验“看我和对我有好感”其实没有太多必然联系，因此概率上可以按 0.5。我们为了求证 P(好感|看我)确实很高，我们就需要更多的观察数据来支持我们的结论。
比如女生是高冷女孩，那么她认真看你，这个新增的数据代表每次看你的质量是很高的，当然似然度会大于 1. 如果女生也经常盯着男生看，但是看我的次数更多，这个其实是增加了数据的量，似然度也会大于 1。 因此理性的人判断 P(好感|看我) 会比较高。
可以看到自恋的同学是将先验经验设置得太高，以至于忽略了似然度的观察，理性的同学弱化先验经验，加强了似然函数。这其实对应了两类人，强经验弱似然函数和弱经验强似然函数。如下图
两种人不能说谁优于谁，强经验的人，后验概率的波动较小。弱经验的人，根据贝叶斯公式，更利于输入新的数据，完成后验概率的更新。
总结
2020 年，提升认知成为共识。按照贝叶斯定理，处于认知更新的我们，应该弱化我们的经验，观察世界强化似然度，从而更新自己的观点。像乔帮主所说：stay hungry。
在几百年前，贝叶斯就给出了从逆概率思考的科学框架，实在是佩服。
AI 系列第 2 篇，欢迎持续关注，我们一起探究 AI 更广阔的天地。