Excel公式练习37： 找到和的加数（增强版）
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导语：继续研究来自于excelxor.com的案例。在《Excel公式练习36：找到和的加数》中，讲解了一个公式，可以标出指定和的加数，然而，如果有几种组合都可以得到这个和数，该公式只能标出其中一种组合，本文讲解的公式就来解决这个问题，将所有的组合都标出来。
本次的练习是：如下图2所示，在单元格A1中给出了目标值1054.35，在单元格A2:A11中有10个值，现在我们想知道这些值中哪些值相加等于1054.35，在这些值右侧单元格中使用“X”标记。如果有几种组合加起来都等于1054.35，则将他们都标识出来。
图1
在单元格B2中输入公式，然后向下拖放至单元格B11、向右拖放至K列，得到结果。
在本例中，有3个组合：
1054.35=350.25+246.89+457.21
1054.35=290.27+123.69+198.56+201.35+240.48
1054.35=283.75+290.27+123.69+201.35+155.29
那么，如何编写这个公式呢？
先不看答案，自已动手试一试。
公式
在单元格B2中输入数组公式：
=IF(COLUMNS($A:A)>$L$1,"",IF(INDEX(INDEX(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),SMALL(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A)),),ROWS($1:1)),"X",""))
向下拖拉至单元格B11，向右拖至列K。
公式使用了一个辅助单元格L1，内容为相加等于目标值的组合的个数，其中使用的数组公式为：
=SUM(N(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=A1))
公式解析
公式中的Values、Arry1和Arry2是定义的三个名称。
名称：Values
引用位置：=$A$2:$A$11
名称：Arry1
引用位置：=ROW(INDIRECT("1:" & ROWS(Values)))
名称：Arry2
引用位置：=ROW(INDIRECT("1:" & 2^ROWS(Values)))
下面以一个确定为和的加数的单元格中的公式，来看看公式是怎么运转的。在单元格B5中的公式为：
=IF(COLUMNS($A:A)>$L$1,"",IF(INDEX(INDEX(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),SMALL(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A)),),ROWS($1:4)),"X",""))
1. 先看看公式中的这部分：
MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2)
这是本解决方案的关键。上述部分公式将会生成一个1024行10列的大矩阵数组，为了更好地理解其运作原理，我们看一个生成的数组数量较小的版本。
假设数值是4个，而不是示例中的10个，即名称Values定义不是：
=$A2:$A11
而是：
=$A2:$A5
这样，名称Arry1：
=ROW(INDIRECT("1:"& ROWS(Values)))
转换为：
=ROW(INDIRECT("1:" & 4))
得到：
{1;2;3;4}
名称Arry2：
=ROW(INDIRECT("1:"& 2^ROWS(Values)))
转换为：
=ROW(INDIRECT("1:" & 2^4))
转换为：
=ROW(INDIRECT("1:" & 16))
得到：
{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}
这样，部分公式：
MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2)
转换为：
MOD(INT(({1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}-1)/2^(TRANSPOSE({1;2;3;4})-1)),2)
转换为：
MOD(INT(({1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}-1)/2^({0,1,2,3})),2)
转换为：
MOD(INT(({1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16}-1)/{1,2,4,8}),2)
转换为：
MOD(INT(({0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15})/{1,2,4,8}),2)
执行数组除法，因为这两个数组正交，即一个16行1列数组除以一个1行4列数组，得到一个16行4列数组：
MOD(INT(
{0,0,0,0;
1,0.5,0.25,0.125;
2,1,0.5,0.25;
3,1.5,0.75,0.375;
4,2,1,0.5;
5,2.5,1.25,0.625;
6,3,1.5,0.75;
7,3.5,1.75,0.875;
8,4,2,1;
9,4.5,2.25,1.125;
10,5,2.5,1.25;
11,5.5,2.75,1.375;
12,6,3,1.5;
13,6.5,3.25,1.625;
14,7,3.5,1.75;
15,7.5,3.75,1.875}
),2)
取整后的结果：
MOD(
{0,0,0,0;
1,0,0,0;
2,1,0,0;
3,1,0,0;
4,2,1,0;
5,2,1,0;
6,3,1,0;
7,3,1,0;
8,4,2,1;
9,4,2,1;
10,5,2,1;
11,5,2,1;
12,6,3,1;
13,6,3,1;
14,7,3,1;
15,7,3,1}
),2)
对2求余后的结果：
{0,0,0,0;
1,0,0,0;
0,1,0,0;
1,1,0,0;
0,0,1,0;
1,0,1,0;
0,1,1,0;
1,1,1,0;
0,0,0,1;
1,0,0,1;
0,1,0,1;
1,1,0,1;
0,0,1,1;
1,0,1,1;
0,1,1,1;
1,1,1,1}
可以看到，我们成功地创建了一个由0和1组成4个元素的所有16种组合。
因此，如果我们使用合适的矩阵乘法，就可以生成名称Values定义的单元格区域中数据求和的所有可能组合。例如，上面数组矩阵的第4行：
{1,1,0,0}
与假设的数据区域：
{283.75;350.25;290.27;246.89}
作为MMULT函数的参数：
=MMULT({1,1,0,0},{283.75;350.25;290.27;246.89})
得到数据区域中第1个值和第2个值之和。
又如，数组矩阵的第15行：
{0,1,1,1}
与假设的数据区域：
{283.75;350.25;290.27;246.89}
作为MMULT函数的参数：
=MMULT({0,1,1,1},{283.75;350.25;290.27;246.89})
得到数据区域中第2个值、第3个值和第4个值之和。
由于我们已经生成了所有0和1的组合，因此可以计算出数据区域内所有可能组合的和。
虽然上面讲述的是数据区域只有4个数值的情况，但它适用于其他大小的数值数量。
2. 有了上述详细讲解，我们再看看公式中的部分：
MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)
将返回名称Values定义的单元格区域中数值所有可能的组合之和，组成一个1024行1列的数组，共1024个元素。下面是该数组的前50个元素：
{0;283.75;350.25;634;290.27;574.02;640.52;924.27;246.89;530.64;597.14;880.89;537.16;820.91;887.41;1171.16;457.21;740.96;807.46;1091.21;747.48;1031.23;1097.73;1381.48;704.1;987.85;1054.35;1338.1;994.37;1278.12;1344.62;1628.37;123.69;407.44;473.94;757.69;413.96;697.71;764.21;1047.96;370.58;654.33;720.83;1004.58;660.85;944.6;1011.1;1294.85;580.9;864.65;...}
上面的数组中包含等于目标值的元素（红色字体标记），还有两个是第485个和第678个元素也等于目标值。
3. 这样，公式中的部分：
MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1
实际为：
{0;283.75;350.25;634;290.27;574.02;640.52;924.27;246.89;530.64;597.14;880.89;537.16;820.91;887.41;1171.16;457.21;740.96;807.46;1091.21;747.48;1031.23;1097.73;1381.48;704.1;987.85;1054.35;1338.1;994.37;1278.12;1344.62;1628.37;123.69;407.44;473.94;757.69;413.96;697.71;764.21;1047.96;370.58;654.33;720.83;1004.58;660.85;944.6;1011.1;1294.85;580.9;864.65;...}=1054.35
比较后的结果为：
{FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;TRUE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;...}
4. 公式中的部分：
SMALL(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A))
返回每个为TRUE的元素在数组中的位置：
SMALL(IF({FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;TRUE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;...},{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;26;27;28;29;30;31;32;33;34;35;36;37;38;39;40;41;42;43;44;45;46;47;48;49;50;...}),1)
转换为：
SMALL({FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;27;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;FALSE;...},1)
得到：
27
这告诉我们，1024个和中的第27个与我们的目标值相等。
5. 现在，我们需要返回到1024个组合的矩阵数组（即前面得到的1024行10列的矩阵），以找出这个与目标值相等的求和中涉及到的具体数值，因此，使用INDEX函数提取该矩阵数组中第27行的值：
INDEX(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),SMALL(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A)),)
转换为：
INDEX({0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;1,0,1,0,0,0,0,0,0,0;0,1,1,0,0,0,0,0,0,0;1,1,1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;1,0,0,1,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0,0;1,1,0,1,0,0,0,0,0,0;0,0,1,1,0,0,0,0,0,0;1,0,1,1,0,0,0,0,0,0;0,1,1,1,0,0,0,0,0,0;1,1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,1,0,0,0,0,0;1,1,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,0,0,0,0;1,0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,1,1,0,1,0,0,0,0,0;1,1,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;1,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,1,0,0,0,0,0;1,1,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,1,1,1,0,0,0,0,0;1,0,1,1,1,0,0,0,0,0;0,1,1,1,1,0,0,0,0,0;1,1,1,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,1,0,0,0,0;1,0,0,0,0,1,0,0,0,0;0,1,0,0,0,1,0,0,0,0;1,1,0,0,0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,1,0,0,0,0;1,0,1,0,0,1,0,0,0,0;0,1,1,0,0,1,0,0,0,0;1,1,1,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,1,0,1,0,0,0,0;1,0,0,1,0,1,0,0,0,0;0,1,0,1,0,1,0,0,0,0;1,1,0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,1,1,0,1,0,0,0,0;1,0,1,1,0,1,0,0,0,0;0,1,1,1,0,1,0,0,0,0;1,1,1,1,0,1,0,0,0,0;0,0,0,0,1,1,0,0,0,0;1,0,0,0,1,1,0,0,0,0;...},27,)
结果为：
{0,1,0,1,1,0,0,0,0,0}
与单元格A3、A5和A6相对应。
6. 接下来就很简单了。只需检查所在行是否与该数组中的非零值对应：
IF(INDEX(INDEX(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),SMALL(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A)),),ROWS($1:4)),"X","")
转换为：
IF(INDEX({0,1,0,1,1,0,0,0,0,0},ROWS($1:4)),"X","")
转换为：
IF(INDEX({0,1,0,1,1,0,0,0,0,0},4),"X","")
转换为：
IF(1,"X","")
得到
X
扩展版
下面是一个修订版，具有以下功能：可以由用户指定加数的数量。如下图2所示。
图2
在图2所示的工作表中，单元格L2中的值表示只希望采用A2:A11中3个值组合之和等于目标值。可以看到，8种组合中，每种确实只有3个值。
在单元格L1中的数组公式为：
=SUM(N(MMULT(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Arry1^0)=L2,MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),0),Values)=A1))
在单元格B2中的数组公式为：
=IF(COLUMNS($A:A)>$L$1,"",IF(INDEX(INDEX(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),SMALL(IF(MMULT(IF(MMULT(MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),Arry1^0)=$L$2,MOD(INT((Arry2-1)/2^(TRANSPOSE(Arry1)-1)),2),0),Values)=$A$1,Arry2),COLUMNS($A:A)),),ROWS($1:1)),"X",""))
我的脑袋已经不够用了！