​魔术里的集合、映射和关系（一）——集合是个啥？

按往年，今年应该春节假期结束，准备返工。不过今年情况特殊，继续放假，大家在做好个人防护的同时，可以借助这难得多出来的闲暇，修炼内功。

为了陪伴大家度过春节，我们开启了春节档日更文章系列，从1月24日到昨天1月30日，大年三十到初六，七天共计4篇原创，1篇图片，2次转载。体会了一把日更作者的辛苦，着实佩服。不过，到昨天，我的日更挑战到此也就打算结束了。无论是阅读量还是关注量，这些文章都创了新高，感谢朋友们的关注，希望给您的闭关春节假期带来一点消遣。相关回顾请戳：

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从今天开始，继续我们一周一篇原创数学魔术/数学/魔术循环，中间穿插转载的更新方式，每周二，五晚上18：08和大家见面，我们不见不散！

好的，正式进入新年第一篇！

以上标题里的这些概念，相信大家都不陌生，自我们第一天学数学以来就三番五次地碰到他们。我们大多是从课本上知道了他们的定义，从习题上知道了他们的使用，然后就再也没有然后了。

但是，在我参加数学建模活动直至今日进入工作岗位，却一次次惊喜地发现，这些基本概念从产生到抽象化定义，是那么的精妙，也是那么必要。它们绝不是数学家生造出来的概念，而是源于生活，高于生活的人类智慧的总结。

这一篇我们将回顾我们从小学一直到大学本科阶段学过的离散数学的核心部分，并试图弄清这些概念的来龙去脉，虽然挂一漏万，但也能做到厚书读薄，理出逻辑发展的主线。

集合是个啥？

课本上写道，集合是一个不加定义的数学概念，或者只能用自然语言描述为“具有某种特定性质的事物的总体”。这其中有两个关键点：

1. 特定性质：无论这个性质是什么，多么不靠谱，总得说出个名字来区分和定义属于和不属于某个特定集合；

2. 总体：而非个体，这样我们描述的时候就自然使用的是这个全体的性质，而不是某一个具体的对象，英语里的集合名词就取这个意思。

注意，这个总体和个体的区别是很大的，集合不简单是个体的叠加，它还会产生新的性质。比如：“我们家的狗会叫”和“狗会叫”表达的就是完全不同的意思，后者是集合里的每一个元素的性质而变成了集合的性质，而前者是单一元素性质。而你可以说“人们是团结的”，指的是所有人构成的集合有个属性叫团结，而“你是团结的”这个说法就不能成立了，团结不能修饰一个元素，只能是集合。

集合来历猜想

延续很早在《加加减减的奥秘——从数学到魔术的思考（一）》一文中的首长数枣子的故事，当他能区分枣子和其他对象的特征以后，自然就形成了枣子的集合，以及它打到的一筐枣子的子集，以及加减法只不过是集合上的性质和运算。于是通过一个叫“集合”的概念来区分枣子等一切事物，并归类在大脑里管理，成了我们认识和理解这个客观世界第一个基本有力的工具。

我们回顾一下这个过程，首长把一筐枣子放好并识别出这些枣子的特征以后，那么由此就可以抽象出世界上所有枣子的特征：红的，圆的，带褶皱的，个头大约一寸（这里涉及度量的概念，可能当时的首长还没有这能力，后面我们专门讲讲计量的内容）的，这特征抽取能力可是上帝赋予大脑的了不得的天赋啊！

然后，他的脑子里就会存储很多枣子的画面，以及从中抽象出来的很多特征，以至下次再碰到任何一个物件，他都能直接通过这些特征来判断是否在枣子这个集合中了。至此，这个枣子的概念也就完全形成，它和世界上任何一颗枣子都没什么关系了。但是，人类却构筑了一个客观世界本没有的主观概念“枣子”，它是由一系列特征和融合函数来最终判断生效的，并且能够在大多数时候准确判断是否。

往往，这里是否准确可能因每个人的体验和感受而有所不同，所以每个人对同一个语言定义概念所对应的判断是不同也是很正常的，这也会产生代沟或者地域差异。所以，我们只能以相对稳定的标准去定义事物，并且以某个权威作为正确判断的唯一标准，并不断修缮进步才行。但是，人类很多事情又都不必要这么较真，除了数学，计算机，法律等一些事情除外。而这严格和模糊的平衡反倒是人类自己自得其乐，引以为傲的一门艺术了，就像没人知道唐诗宋词写作时候作者到底是怎么想的，才让说文解字之功夫如此有艺术感。

集合概念伴随着的人类抽象能力的提升

回到枣子问题。由此，在酋长有能力判断什么是“枣子”以后，我们就可以执行吃，保存，赠予等等相关行为并确保有效。比如吃下去会是甜的而且能补血，送老人他们会喜欢等等。而这些执行层面的知识又可以不断复合和嵌套，进而变得更加复杂。比如可以由此开始想象和创造，并做实验来验证想法，进而发现新的世界，这个由大脑推理想象的世界，比物理世界可是要快千万倍，而且有时还能比真实更能抓住重点，但有时也会有偏差，这是动物进化过程中的一个伟大里程碑：用大脑神经来模拟物理世界并预测未来。

在原始时代，由于没有那么多先人一代代传下来的累积的知识，很多时候都是摸黑走，像很容易的“枣子”是什么这类知识应该就是某个祖先自己发现并总结的，甚至都不是很多人讨论完成的，因为语言还不发达，人们之间通信还是很困难的。而且，这个过程更多的是个“聚类”操作，即，首长天然地会去直接发现部下们每天打来的果子里有各种东西，有的圆圆的红色带褶皱的放一堆，橙色更大一点很圆的放一堆，长长一根黄色的放一堆，于是就形成了枣子，橙子，香蕉三个集合，取了三个名字。所以，每个人的基因里天然是有用五官感受外界客观事物并形成主观感受的能力的，我们通过这些信道这样来接受信息，而对这些信息的处理有的是天然本能的比如，饿了要吃，被打了会疼要逃跑等等，这种趋利避害的基本能力是与生俱来的。而有些则是后天教育和习惯的，比如对苦和甜的喜好，能不能吃辣等等。这些内容不断地叠加成了我们综合的能力。

而现在，我们在学校的教育，更多的是去学习分类和回归，而不是聚类。因为有太多先人留下的知识，我们有生之年只能在这基础上去修筑和进步，而无需再推翻它，直到它真的不能用为止，比如古时候摆个庙求雨就不如现在直接往云里打干冰了。但是，并不见得人类大潮推进文明的方向是所谓正确和优越的，说不定在外太空还有一个并行的分支远远超过我们的发展水平和形成了更厉害的知识体系。但是，显然，在有生之年让自己活得更好也为人类做出贡献的方法就是在这基础之上去努力，而不是推翻重来这种无用功，做项目也是一个道理了。

当然，科学是我们主观认识客观世界几乎唯一可靠而无奈的方式，也许，大自然本身就是如此混乱，但也符合某些特殊的生成规律，于是可以在这基础上去认识世界，分类，度量等等，但是我们不得不承认，我们的观察真的是有限的，因为有看不到的一面存在，所以，我们构筑的知识体系在上帝，哪怕是我们的后代看来，都是那么的落后，但我们还是可信赖地动态依赖他们，至少，这是最不坏的办法。在一定范围内我们不用担心会错，至少也比很多人离真理近那么一点点。

而我们现代人，也要自己根据所长去权衡选择，是做一个人类智慧的传承者还是构建者,不然总觉得生命在这方面的意义就缺失了。像老师，政府官员等，天然不需要太多的知识创造，但却要求把人类这点规矩使用和发挥到极致。要最感同身受地把知识最活灵活现地传给下一代，要在人与人的权衡中最好的使规则发挥效用。说是稳定，是因为他们确实不需要去承担创造知识失败的风险，但是，把有规矩的事情做好做出彩，可一点不比创造知识容易。因为虽然我们自诩为现在是信息时代，可是我们记录信息的方式导致的缺失和谬误还是使得人类知识的传承离不开活生生的人，而史书里记载的，图纸上画的，视频里录的，仍然不如那些亲历者的言传身教来的真实。而如果是构建者，那么就势必要承担很长时间可能都没有结果甚至穷其一生都要为人类做贡献的角色，成功只是少数。比如至少要读到博士，还要有足够好的机遇。

全剧终：总结

这一讲我们通过一个故事和想象，展开讲了集合的概念和来历，以及基本对象集合构建下的世界的数学模型，虽然我们的大脑对世界的认知远比这复杂，但是这种集合式的划分思维绝对是基础的认知方式之一，以此为基础才能构建更加复杂的世界。

下一讲我们说说集合的表示，性质，运算，以及由此形成的除了单对象构成的集合以外的更高级别的集合，看看这个以bool集作为象空间的特殊函数到底还能建模我们哪些更高级的思维。

老规矩，学会数学，看会魔术。用集合为基础的离散数学概念来描述的魔术有很多很多，作为经典数学工具甚至是很多更具体数学内容通向实际的桥梁。如前面文章《奇偶性与魔术（三）——魔术的艺术魅力》就可以看成是奇偶属性划分下的两个集合以及互相的转化性质的应用，还有数学魔术里经典的CATO，Gilbreath等原理也可以用集合的语言来描述和理解，再恰当不过了，至少我曾经用上了集合语言来看待他们的时候，突然有过恍然大悟的感觉。那些另有名字的著名原理我们后面再讲，先看一个和集合概念有关的小作品，我们后面慢慢分析。

好了，今天数学魔术师的分享就到这里，希望各位客官喜欢，期待你的转发和赞赏哦！


我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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