测度转换 (下) – 漂移项转换

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引言

本文接着上贴〖测度转换 (上) - 等价物转换〗继续讨论。大概思路就是

• 先介绍 CMG 定理，但是先研究下不同测度下的正态随机变量（布朗运动）之间的关系，CMG 只是把发现的规律用正式的语言表述。
• 再利用 CMG 定理推出标的资产在任意两个测度下（对应两个计价物）的漂移项的关系。我们先证明一个通用定理，再把它用到一个特定情况上。
• 最后看几个漂移项转化可以用到的地方，比如推导 Quanto 调整，时间调整等等。实际上漂移项转化可用在任何用 SDE 对资产价格建模的地方。

提醒：本章内容偏难，但一旦学会了就可以一劳永逸。

1

测度转换初体验

1.1

正态随机变量

先考虑一个在 P 测度下的标准正态随机变量 X1 ~ N(0, 1) 和 X2 ~ N(-μ, 1)，令事件 A = {a ≤ X ≤ y}，我们可写出 X1 和 X2 满足 A 的概率为

把纵轴向左平移 μ 个单位得到一个新的坐标系，在次坐标系下的测度起名为 Q 测度。

令

类比微积分基本定理（fundamental theorem of calculus），我们得到

由下图可看出 P 测度下的 N(-μ, 1) 相当于是 Q 测度下的 N(0, 1)了，定义 P 和 Q 测度下的标准正态随机变量为 XP 和 XQ，则有如下关系

看个具体例子 XQ = XP + 1，那么 Q 测度下的 N(0, 1) 相当于是 P 测度下的 N(-1, 1)。连接 Q 和 P 测度下的 RN 导数为

而 dQ(x)/dP(x) 实际上就是 Q 和 P 测度下的概率密度函数（Probability Density Function, PDF），用 Matlab 代码来画图。

x = (-3:0.01:3)';
mu = 1;
P = normpdf(x,0,1);
Q = normpdf(x,-mu,1);
eta = exp(-mu*x-0.5*mu^2);
subplot(2,1,1)
plot(x,P,'r-',x,Q,'b-')
legend('P','Q')
subplot(2,1,2)
plot(x,eta,'k-')

上半图画出 Q 和 P 测度下的 PDF 函数，下半图画出 RN导数 ς(x)，容易发现它是递减函数

• 从 x 轴左边开始，dQ(x) 大于 dP(x)，因为前者以 x = -1 为轴心而后者以 x= 0 为轴心
• 到达某点后，dQ(x) 开始并一直大于 dP(x)

重点：在不同测度下，正态分布的均值不同，但方差不变。

1.2

布朗运动

资产价格的随机性通常都是用布朗运动来模拟的，而布朗运动 W(t) 也是正态分布，W(t) ~ N(0, t)。让我们来看看不同测度下的布朗运动的关系吧。

在真实测度（P 测度）和风险中性测度（Q 测度）下，资产价格 S(t) 的 SDE 为

实际上我们可以进一步推出 Q 测度下的漂移项是无风险利率 r，推导如下。

Q 测度下的计价物是活期存款 β(t)，假设利率 r 为常数，其 SDE 为

那么 S(t)/β(t) 在 Q 测度是鞅，因此其 SDE 的漂移项为零。根据伊藤定理推出

由漂移项为零可推出 μQ= r。用 μ 来代替 μP，我们再重写 P 测度和 Q 测度下的布朗运动的关系：

下表类比「不同测度下的正态分布的关系」和「不同测度下的布朗运动的关系」，然后希望通过适用于正态分布的 RN 导数，最后推出适用于布朗运动的RN 导数。

之所以要在布朗运动上除以根号 t 是为了得到 N(0,1) 分布，在 ς(x) 里，用 WP(t)/sqrt(t) 替代 x，用 (μ- r)/σ×sqrt(t) 替代 μ 得到。

重点：转换测度最终会变换漂移项，而不同测度下的布朗运动也不同了。

1.3

CMG 定理

CMG 是Camaron, Martin 和 Girsanov 三个人的缩写，CMG 定理则用正式的语言来总结上面有关测度转换的内容。

我们来证明 WQ(t) 是否是 Q-布朗运动，主要要证明三点：

1. WQ(t) 在 0 时点是否为 0?
2. WQ(t) 是否是正态分布，即 WQ(t) ~ N(0, t)？
3. WQ(t) – WQ(s) 是否是正态分布，即 WQ(t) – WQ(s) ~ N(0, t-s)？

证明过程如下。

CMG 定理只是在变换测度时，将一个无漂移的布朗运动变成了一个带漂移的布朗运动。布朗运动多出来的漂移可以在 SDE 上的漂移项上做调整，实际上测度变换能做的就是改变漂移项。

下面将 CMG 定理扩展到高维布朗运动中。

2

漂移项转换

2.1

通用定理

回顾一下 RN-导数和计价物的关系。

通常我们用 SDE 来模拟标的价格和计价物的价格，而 SDE 包含漂移项和扩散项，本章我们就来讨论「测度-计价物-漂移项」之间的关系。

首先总结一下测度和计价物之间的联系，关于单货币市场的内容我们在上贴〖测度转换 (上) - 等价物转换〗已经讲过，下面主要关注多货币市场的内容。

先列出总结表，后两小节分别讨论多货币市场的风险中性测度和 T-远期测度。

2.2

多货币市场 - 风险中性测度

用 βd(t) 和 βf(t) 来表示本国和外国市场上 t 时点的连续复利型的银行活期存款价格，它们对应的测度为本币和外币的风险中性测度，用 Qd 和 Qf 来表示。用 Pd(t, T) 和 Pf(t, T) 来表示本国和外国市场上的 T 时点到期零息债 t 时点的价格，它们对应的测度为本币和外币的 T 远期测度，用 QT,d 和 QT,f 来表示。

用 X(t) 来表示 t 时点的即期汇率，即用 1 个单位的外币兑换 X(t) 单位的本币，用 F(t, T) 代表在 t 时点看到的远期汇率，即在 T 时点用 1 个单位的外币兑换 F(t, T) 单位的本币。根据利率平价关系（interest rate parity），我们有

公式推导如下表所示。

假设有一个金融产品，一名外国投资者和一名本国投资者。在 T 时点该产品对外国投资者支付为 Vf(T)，单位为外币；同样在 T 时点该产品对本国投资者支付为 Vf(T)X(T)，单位为本币。

首尾连接两个期望公式得到

我们知道测度 Qd 和 Qf 之间由一个 RN-导数联系着，用 ς(t) 来表示，其表达式为

证明如下表所示：

回顾下面 RN-导数的通用公式

类比我们推导的具体情况，如下式

因此「测度 Qf 转换到 Qd」等价于「计价物 βf(·) 转换到 βd(·)/X(·)」。注意，我们通常认为测度 Qf 和 Qd 对应的计价物是 βf(·) 和 βd(·)，那么从「测度 Qf 转换到 Qd」应该等价于「计价物 βf(·) 转换到 βd(·)」，但实际上不是。

βf(·) 是外币活期存款，βd(·) 是本币活期存款，而 βd(·)/X(·) 是本币活期存款但转成外币单位，记住下面的关系就行了。

2.3

多货币市场 - T-远期测度

用之前同样的金融产品，在测度 QT,d 和 QT,f 下的有以下关系

首尾连接两个期望公式得到

同样的，测度 QT,d 和 QT,f 之间也有一个 RN-导数联系着，其表达式 ς(t) 为

证明如下表所示：

回顾下面 RN-导数的通用公式

类比我们推导的具体情况，如下式

因此「测度 QT,f 转换到 QT,d」等价于「计价物 Pf(·,T) 转换到 Pd(·,T)/X(·)」。注意，我们通常认为测度 QT,f 和 QT,d 对应的计价物是 Pf(·,T) 和 Pd(·, T)，那么从「测度 QT,f 转换到 QT,d」应该等价于「计价物Pf(·,T) 转换到 Pd(·,T)」，但实际上不是。

Pf(·, T) 是 T 时到期的外币零息债，Pd(·, T) 是 T 时到期的本币零息债，而 Pd(·, T)/X(·) 是 T 时到期的本币零息债但转成外币单位，记住下面的关系就行了。

利用利率平价公式，我们还可将 RN-导数做进一步的简化：

当 t = T 时，

下面开始硬核内容。

2.4

漂移项转换

我们首先介绍通用情况下的漂移项转换，然后再讲范围缩小的金融工程常见的特定情况，即标的价格服从对数正态分布。

通用情况

考虑两个计价物 A 和 B 和与之对应的测度 QA 和 QB。在两个测度下，一个p×1 的随机列向量 Y(t) 的 SDE 为：

更多时候我们会定义 dW(t) 来替代 CdZ(t)，以二维举例来验证 ρ = CCT 的关系。

使用 dW(t) 还可将 Y(t) 的 SDE 写成

重点：波动率和相关性在不同测度下是不变的（measure-invariant）。

为什么把 Y(t) 的 SDE 写成两种形式？因为各有各的用途

1. 用 CdZ(t) 代表布朗运动是为了 CMG 定理，因此该定理里面的内容是基于独立的布朗运动 Z(t)
2. 用 dW(t) 代表布朗运动是为了符号简洁，相关性系数「隐藏」在 W(t) 元素里面

以上的向量和矩阵符号看起来有些抽象，我们写出它们包含的具体元素形式，如下：

下面来看一个「测度转换-漂移项转换-布朗运动转换」的重要定理。

证明见附录。从上面定理的式子可看出，在不同的应用中只需设定

• 计价物 A(t) 和 B(t)
• 它们的扩散项 σA(A(t),t) 和 σB(B(t), t)
• 布朗运动向量之间的相关性 ρ

然后套公式即可列出不同测度下漂移项（布朗运动）的关系。

特定情况

假设 Y(t), A(t) 和 B(t) 的扩散项（即波动率）和资产价格水平成比例的，也假设 Y(t) 的维度和 W(t) 的维度相等（p= d），我们有

在测度 QB 下，根据伊藤定理，我们推出 dlnY(t), dlnA(t) 和 dlnB(t) 的表达式

我们可以化简上面关于漂移项的关系式

如果 A(t) 和 B(t) 的漂移项也和资产价格水平成比例，即

我们可以继续化简上式

到此，我们有三种不同程度（从通用到特定）的漂移项关系，总结在下表。

虽然情况 1 的表达式最通用，但因为计价物的价值要为正，因此 A 和 B 通常服从对数正态分布，我们用的最多的还是情况 2 的表达式。

3

实际应用

在本节中，我们运用第 2 节推导出来的公式来计算利率 Quanto、商品 Quanto 和 LIA 里面的标的资产 SDE 在不同测度下的漂移项。我们可以在〖Quanto 调整〗和〖时间调整〗两贴中对比推导结果。

3.1

利率 Quanto

对不同国家的投资者，都有所谓的本国市场（domestic market）和外国市场（foreign market）。比如一个中国投资者买以 USD 结算的产品，那么本国是中国，外国是美国，本币（domestic currency）是CNY，外币（foreign currency）是USD。对于比如一个美国投资者买以CNY结算的产品，那么本国是美国，外国是中国，本币是 USD，外币是 CNY。

用 Pd(t, T) 和 Pf(t, T) 来表示本国和外国市场上的 T 时点到期零息债 t 时点的价格，用 X(t) 来表示 t 时点的汇率，即 1 个单位的外币兑换 X(t) 单位的本币。假设三个都是随机变量，它们在 Qd 测度下的 SDE 都服从对数正态分布：

注意我故意没有把它们 SDE 的漂移项写出来，因为在后面的推导中只需要扩散项。这样写会极大的简化推导过程。

考虑一份利率 Quanto，其支付函数为 G(·) 是以外币计价 IBOR Lf(U; U, T) 的函数，支付日为 T，但合约是以本币结算。在 QT,d 测度下，该合约的现值为

在 QT,f 测度下， Lf 是鞅因此漂移项为零，其 SDE 为

接下来，我们运用上面结论来推出 Lf 在 QT,d 测度下的 SDE。

第一步：明确测度转换的方向 QT,f → QT,d，并识别两个测度对应的计价物。

在以下所有推导中，我们可以完全忽略漂移项，即 dt 项前面的系数，而把注意力只放在扩散项。

第二步：写出等价下在 QT,d 测度下的不考虑漂移项的SDE。

在 QT,d 测度下，根据 X 的 SDE 用伊藤定理推出其倒数 1/X 的 SDE：

两个计价物 A 和 B 的 SDE 如下，注意到扩散项呈现“资产水平×波动率”这种形式，符合情况 2。

第三步：将两个 SDE 中的扩散项带入公式。

获取 dA 和 dB 的扩散项带入公式：

已知 A(t) 对应的测度是外币 T 远期测度 QT,f，B(t) 对应的测度到本币 T 远期测度 QT,d，将它们具体化得到

获取上式向量公式的第一行得到「布朗运动 L 元素」在 QT,f 和 QT,d 之间的关系

此外我们还可以得到一个副产品（虽然在估值 IR Quanto 时用不到），即上式向量公式的第二行「布朗运动 X 元素」在 QT,f 和 QT,d 之间的关系

在 QT,f 测度下，Lf(t) 是鞅；在 QT,d 测度下，Lf(t) 的 SDE 只需要用上面公式将 dW_LT,f(t) 替换成 dW_LT,d(t) 即可，

在利率 Quanto 中，如果在自然估值货币（外币）是 EUR，而结算货币（本币）是 USD 下推导出来的，这时「外币本币对」是 EURUSD，符合市场报价惯例。在这种情况下可以用上面推导的 SDE。

如果自然估值货币是 USD，而结算货币是 EUR，这时「外币本币对」是 USDEUR，不符合市场报价惯例。这时的计价物是 Pd(t,T)X(t)，而不是 Pd(t, T)/X(t)。在上面我们推导出 dX(t) 和 d(1/X(t)) 的扩散性有一个正负号的区别，因此，在这种情况下，

那么 Lf(t) 的 SDE 变成

其中 ρL,X 是远期利率 L 和汇率 X 之间的相关性系数，而 X 是以市场惯例报价。

3.2

商品 Quanto

考虑一份商品 Quanto，其支付函数为 G(·) 是以外币计价的商品价格 Cf(T) 的函数，支付日为 T，但合约是以本币结算。在 Qd 测度下，该合约的现值为

在 Qf 测度下 Cf(t) 的 SDE 为

接下来，我们运用上面结论来推出 Cf(t) 在 测度下的 SDE。

第一步：明确测度转换的方向 Qf → Qd，并识别两个测度对应的计价物。

在以下所有推导中，我们可以完全忽略漂移项，即 dt 项前面的系数，而把注意力只放在扩散项。

第二步：写出等价下在测度 Qd 下的不考虑漂移项的 SDE。

在 Qd 测度下，根据 X 的 SDE 用伊藤定理推出其倒数 1/X 的 SDE：

两个计价物 A 和 B 的 SDE 如下，注意到扩散项呈现“资产水平×波动率”这种形式，符合情况 2。

第三步：将两个 SDE 中的扩散项带入公式。

获取 dA 和 dB 的扩散项带入公式：

已知 A(t) 对应的测度是外币风险中性测度 Qf，B(t) 对应的测度到本币风险中性测度 Qd，将它们具体化得到

获取上式向量公式的第一行得到「布朗运动 C 元素」在 Qf 和 Qd 之间的关系

此外我们还可以得到一个副产品（虽然在估值 CM Quanto 时用不到），即上式向量公式的第二行「布朗运动 X 元素」在 Qf 和 Qd 之间的关系

在 Qd 测度下，Cf(t) 的 SDE 只需要用上面公式将 dW_Cf(t) 替换成 dW_Cd(t) 即可，

同理，当「外币本币对」符合市场报价惯例，如 EURUSD 和 USDCNY 等。在这种情况下可以用上面推导的 SDE。

当「外币本币对」不符合市场报价惯例，如 USDEUR 和 CNYUSD 等。这时的计价物是 βd(t)X(t)，而不是 βd(t)/X(t)。在上面我们推导出 dX(t) 和d(1/X(t)) 的扩散性有一个正负号的区别，因此，在这种情况下，

那么 Cf(t) 的 SDE 变成

其中 ρC,X 是商品价格 C 和汇率 X 之间的相关性系数，而 X 是以市场惯例报价。

3.3

LIBOR-in-Arrears

LIBOR 在 T 时点观察，在 M 时点到期，

在 LIBOR-in-arrears (LIA) 中，和 LIBOR 挂钩的现金流在T时点支付（同时定盘和支付）。用 L(T) 代表 L(T; T, M)，用 τ 代表时点 M 和时点 T 之间的年限，我们得到

在 QM 测度下， L(t) 是鞅因此漂移项为零，其 SDE 为

接下来，我们运用上面结论来推出 L(t) 在 QT 测度下的 SDE。

第一步：明确测度转换的方向 QM → QT，并识别两个测度对应的计价物。

在以下所有推导中，我们可以完全忽略漂移项，即 dt 项前面的系数，而把注意力只放在扩散项。

第二步：写出等价下在测度 QT 下的不考虑漂移项的 SDE。

在 QT 测度下，令 P = P(t, T), L = L(t; T, M) 两个计价物 A 和 B 的 SDE 如下，注意到扩散项呈现“资产水平×波动率”这种形式，符合情况 2。

第三步：将两个 SDE 中的扩散项带入公式。

获取 dA 和 dB 的扩散项带入公式：

已知 A(t) 对应的测度是 M 远期测度 QM，B(t) 对应的测度到 T 远期测度 QT，将它们具体化得到

获取上式向量公式的第一行得到「布朗运动 L 元素」在 QM 和 QT 之间的关系

在 QM 测度下，L(t) 是鞅；在 QT 测度下，L(t) 的 SDE 只需要用上面公式将dW_LM(t) 替换成 dW_LT(t) 即可，

将漂移项里的 L(t) 项到固定（freeze）为 L(0)，我们可求解上面的 SDE 得到

直接在 QT 测度下对 L(T) 求期望，我们可计算 LIA 类型的现金流

最后一步近似用到 ex ≈ 1 + x。

回顾之前〖时间调整〗一贴里的计算 LIA 方法。首先从 QT 测度转换到 QM 测度，引进 P(T, M) 项但可写成 L(T) 的函数，而 L(T) 在此测度是鞅；接着在 QM 测度下对 L(T)+τL2(T) 求期望。

倒数第二步近似也用到 ex ≈ 1 + x。

我们发现两种推导方法得到同样结果。

4

总结

记住下面一串等价关系

换测度 → 换计价物 → 换漂移项 → 换布朗运动

从头到尾需要伊藤定理和 CMG 定理。

再回顾一下在真实测度（P 测度）和风险中性测度（Q 测度）下，资产价格 S(t) 的 SDE 为

从上面两个 SDE 可看出

• 测度不同，漂移项不同。测度 Q 下的是 r，测度 P 下的是 μ
• 测度不同，扩散项相同 (都是 σ)，但是对应的布朗运动不同。测度 Q下的是 WQ(t)，称为 Q-布朗运动，测度 P 下的是 WP(t)，称为 P-布朗运动
• WQ(t) 不是 P-布朗运动，而 WP(t) 也不是 Q-布朗运动。它们之间关系是 WQ(t) = WP(t) + (μ – r)/σ ∙ t，这就是 CMG 定理的极简形式。

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技术附录

漂移项转换和布朗运动转换