如何利用图卷积网络对图进行深度学习（上）

AiTechYun

发布于 2020-02-23 14:44:28

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发布于 2020-02-23 14:44:28

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基于图的机器学习是一项困难的任务，因为图的结构非常复杂，而且信息量也很大。这篇文章是关于如何用图卷积网络（GCNs）对图进行深度学习的系列文章中的第一篇，GCNs是一种强大的神经网络，旨在直接处理图并利用其结构信息。

在这篇文章中，我将介绍GCNs，并举例说明如何通过GCN的隐藏层传播信息。我们将看到GCN如何聚合来自前几层的信息，以及该机制如何生成图中节点的有用特征表示。

什么是图卷积网络？

GCNs是一种非常强大的用于图形机器学习的神经网络体系结构。事实上，它们非常强大，即使是随机启动的2层GCN也可以生成网络中节点的有用特征表示。下图说明了由这种GCN产生的网络中每个节点的二维表示。请注意，即使没有任何训练，网络中节点的相对接近度也保留在二维表示中。

更正式地说，图卷积网络（GCN）是一种对图进行运算的神经网络。给定一个图G=（V，E），GCN作为输入

一个输入特征矩阵N×F⁰特征矩阵X，其中N是节点数，F⁰是每个节点的输入特征数以及
图结构的N×N矩阵表示，如[1]的邻接矩阵A

因此，GCN中的隐藏层可以被写为Hⁱ= f (Hⁱ⁻¹,A)),其中 H⁰= X和f是一个传播[1]。每一层Hⁱ对应于一个N×Fⁱ特性矩阵,其中每一行是一个节点的特征表示。在每一层，使用传播规则f将这些特征聚合起来形成下一层的特征。这样，特征在每一层变得越来越抽象。在这个框架中，GCN的变体只在传播规则f[1]的选择上有所不同。

一个简单的传播规则

最简单的传播规则之一是[1]：

f（Hⁱ，A）=σ（AHⁱWⁱ）

其中Wⁱ是第i层的权重矩阵，σ是非线性激活函数，如ReLU函数。权重矩阵的维数为Fⁱ × Fⁱ⁺¹；换句话说，权重矩阵的第二维度的大小决定了下一层的特征数。如果您熟悉卷积神经网络，则此操作类似于过滤操作，因为这些权重在图中的节点之间共享。

简化

让我们从最简单的层次来研究传播规则。假如

i=1，s.t.f是输入特征矩阵的函数，

σ是恒等式函数，并且

选择重量s.t.AH⁰W⁰=AXW⁰=AX。

一个简单的图形示例

作为一个简单的例子，我们将使用下图:

一个简单的有向图。

下面是它的numpy邻接矩阵表示。

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1],
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

接下来，我们需要功能！我们根据节点的索引为每个节点生成2个整数特征。这样便于以后手动确认矩阵计算。

In [3]: X = np.matrix([
            [i, -i]
            for i in range(A.shape[0])
        ], dtype=float)
        X

Out[3]: matrix([
           [ 0.,  0.],
           [ 1., -1.],
           [ 2., -2.],
           [ 3., -3.]
        ])

应用传播规则

好吧！我们现在有一个图，它的邻接矩阵a和一组输入特征X。让我们看看当我们应用传播规则时会发生什么：

In [6]: A * X
Out[6]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 5., -5.],
            [ 1., -1.],
            [ 2., -2.]]

发生了什么事?每个节点（每一行）的表示现在是其相邻特征的总和！换句话说，图卷积层将每个节点表示为其邻域的集合。我鼓励你自己检查一下计算结果。注意，在这种情况下，如果存在V到N的边，则节点N是节点V的邻居。

哦哦！问题就在眼前！

你可能已经发现了问题：

节点的聚合表示不包括其自身的功能！该表示是邻居节点特征的聚合，因此只有具有自循环的节点才会在聚合中包含自己的特征。[1]

具有大角度的节点在其特征表示中将具有大值，而具有小角度的节点将具有小值。这可能导致梯度消失或爆炸[1，2]，但对于通常用于训练此类网络且对每个输入特征的比例（或取值范围）敏感的随机梯度下降算法也是有问题的。

在下面，我将分别讨论这些问题。

添加Self-Loops

要解决第一个问题，只需向每个节点添加一个self-loop[1,2]。在实践中，这是通过在应用传播规则之前将单位矩阵I添加到邻接矩阵A来实现的。

In [4]: I = np.matrix(np.eye(A.shape[0]))
        I

Out[4]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 1., 0., 0.],
            [0., 0., 1., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])

In [8]: A_hat = A + I
        A_hat * X
Out[8]: matrix([
            [ 1., -1.],
            [ 6., -6.],
            [ 3., -3.],
            [ 5., -5.]])

由于节点现在是其自身的邻居，因此在总结其邻居的特征时会包含该节点的自身特征！

规范化特征表示

通过将邻接矩阵A与反度矩阵D相乘，可以通过节点度对特征表示进行规范化[1]。因此，我们的简化传播规则如下所示：

f(X, A) = D⁻¹AX

让我们看看会发生什么。首先计算次数矩阵。

In [9]: D = np.array(np.sum(A, axis=0))[0]
        D = np.matrix(np.diag(D))
        D
Out[9]: matrix([
            [1., 0., 0., 0.],
            [0., 2., 0., 0.],
            [0., 0., 2., 0.],
            [0., 0., 0., 1.]
        ])

在应用规则之前，让我们看看在转换邻接矩阵之后会发生什么。

之前

A = np.matrix([
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1],
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 1, 0]],
    dtype=float
)

之后

In [10]: D**-1 * A
Out[10]: matrix([
             [0. , 1. , 0. , 0. ],
             [0. , 0. , 0.5, 0.5],
             [0. , 0.5, 0. , 0. ],
             [0.5, 0. , 0.5, 0. ]
])

观察邻接矩阵的每一行中的权重（值）已除以与该行相对应的节点的阶数。我们将传播规则应用于变换后的邻接矩阵

In [11]: D**-1 * A * X
Out[11]: matrix([
             [ 1. , -1. ],
             [ 2.5, -2.5],
             [ 0.5, -0.5],
             [ 2. , -2. ]
         ])

得到与相邻节点特征均值对应的节点表示。这是因为（转换后的）邻接矩阵中的权重对应于邻接节点特征的加权和中的权重。再次，我鼓励你亲自验证这一观察结果。

原文链接：

https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-7d2250723780