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摄像机的标定得先从坐标系谈起。
首先看一下平面坐标系之间的转换。
两个平面坐标系 Oxy
和 Ox'y'
之间的夹角是 a
。如下图所示:
顺时针旋转 (Oxy -> Ox'y')
,变换关系如下:
公式(1)
和 公式(2)
等价。注意坐标顺序,下面论证会用到。
基元旋转,坐标系绕它的一个轴旋转:
1. 绕 Ox
轴顺时针旋转(右手定则),但是坐标排列次序相反使用上述 公式(2)
。
2. 绕 Oy
轴顺时针旋转(右手定则),坐标排列次序使用上述 公式(1)
。
3. 绕 Oz
轴顺时针旋转(右手定则),但是坐标排列次序相反使用上述 公式(2)
。
有了基元旋转的基础,如果一个点在两个坐标系之中,而且两个坐标系共用一个原点,这样空间点在两个坐标系之间转换存在一个旋转矩阵R 。
假如两个坐标轴之间的变换关系为,坐标系1 先绕 Oz
轴旋转, 再绕 Oy
轴旋转, 最后绕 Ox
轴旋转,最终得到了坐标系2,则 旋转矩阵R 为这三个 基元旋转矩阵 依次 左乘 。
如果两个坐标系之间不共 原点 ,就是说明这两个坐标系之间除了 旋转向量,还存在 平移向量 。
相对于 公式(6)
, 公式(7)
运用了齐次坐标,这样公式看起来更加规整,计算起来更加方便,网友说可以参考可参见“周兴和版的《高等几何》—1.3拓广平面上的齐次坐标” ,有机会了可以拜读一下。
在视觉测量中,需要进行的一个重要预备工作是定义四个坐标系的意义,即 摄像机坐标系 、 图像物理坐标系 、 像素坐标系 和 世界坐标系(参考坐标系) 。
1. 最简单的情况 (两坐标轴都为直角坐标系)
图像上的每点坐标 (u,v) 分别表示每一帧采集的图像在系统中的存储的数组的列数与行数,坐标 (u,v) 所对应的值就是该点的灰度信息,因此坐标系 uOv
又称为 像素坐标系。
同时,为了建立图像中各点的像素与实际的物理尺寸的联系,我们还要建立 图像物理坐标系 xO1y
。设点 O1
在图像像素坐标系中记为 (u0,v0)
,每个像素沿 x 轴的实际物理尺寸大小是 dx,沿 y 轴的实际物理尺寸大小是dy ,单位值毫米,则能得到两个坐标系间的关系式 。
2. 一般情况 (两坐标轴有一个轴平行,一个轴不平行)
为了方便以后公式的推导,将公式写为:
初中的 三角形相似 问题可以解决。
将公式合并后,如下所示:
综上所述,大家可以看出四个坐标系之间存在着下述关系 ( 矩阵依次左乘 )