数据结构之堆
树结构的不同形态，堆、线段树、字段树、并查集，四种不同的树形数据结构。
1、优先队列，本身就是一种队列。普通队列，先进先出，后进后出。优先队列，出队顺序和入队顺序无关，和优先级有关，优先级高者先得，优先级高的先出队。
类别 | 入队 | 出队（拿出最大元素） |
|---|---|---|
普通线性结构（数组、链表等） | O(1)，直接将新的元素扔进去。 | O(n)，需要扫描一遍元素，找出其优先级最高的元素，拿出队列。对于数据结构来说，如果有一项操作是O(n)级别的，那么进行n个元素的操作，整个过程就会是n的平方的过程，相对来说，比较慢的。 |
顺序线性结构（维持线性结构的顺序，动态数组、链表等） | O(n)，入队操作，需要找到需要插入的线性结构的位置。 | O(1)，只需要拿出队首或者队尾的元素即可。 |
堆 | O(logn)，最差情况下 | O(logn)，最差情况下 |
2、完全二叉树，把元素顺序排列成树的形状。当我们把元素一层一层的排列成二叉树的形状的时候，得到的这棵树就是完全二叉树。
二叉堆的性质，堆中某个节点的值总是不大于其父节点的值，就是根节点的元素是最大的元素，根节点的值总是大于等于其左右孩子的值。这样得到的堆称为最大堆，相应的可以定义最小堆。
3、最大堆，可以使用定义二分搜索树的Node类来实现堆，这里也可以使用数组，因为完全二叉树，就是一个一个节点按照顺序一层一层的码放出来，所以可以使用数组的方式来表示完全二叉树。
注意，此时将数组索引0位置空置出来了。如果不将索引为0位置空置出来，可以使用这样的计算方式，父节点的索引parent(i) = (i - 1) /2，左孩子节点的索引left child(i) = 2 * i + 1，右孩子节点的索引right child(i) = 2 * i + 2；
4、向堆中添加元素和Sift Up，从用户的角度来看是添加元素，从堆的角度来看，设计到一个非常基础的内部的操作，通常英文叫做Sift Up（堆中元素的上浮）。
堆中元素的上浮，最后的效果如下所示：
5、取出堆中的最大元素和Sift Down。最大堆，我们从堆中取出元素只取出堆顶的这个元素，也就是二叉树的根节点所在的这个元素，这个元素是堆中存储元素最大的元素，取出操作只能取出这个元素，而不能取出其他的元素，根节点很好访问，就是对于数组来说，索引为0这个位置的元素。
此时，在数组表示中，索引为0的位置存放就是16这个元素了，数组最后一个元素的位置也是16，此时将最后一个元素16删除掉，这样从元素的个数上减少了一，此时减少的元素就是堆顶的元素，此时数组表示满足完全二叉树的性质的。
此时，需要进行调整，这个调整的过程，调整的是堆顶根节点的元素16，我们需要将这个节点向下调，所以叫做Sift Down（数据的下沉），需要下沉的这个位置的元素，和它的左右孩子进行比较，选择它的两个孩子中最大的那个元素52，如果它的两个孩子中最大的那个元素52比它自己还大，它就和左右孩子中最大的进行交换位置，此时，交换完位置之后，此时的根节点的元素52比它左右孩子的元素都要大。
此时，交换完元素之后，对于16这个新的位置，它很有可能依然不满足堆的性质，它可能依然要进行下沉下去，这个过程继续进行。此时16的索引为1，来看它的左右孩子，最大的那个孩子的元素41比16大，所以他们两个交换位置，此时可以保证41这个节点它比左右孩子还要大。
此时，让元素41和元素16进行替换，效果如下所示:
此时，此时，交换完元素之后，对于16这个新的位置，它很有可能依然不满足堆的性质，它可能依然要进行下沉下去，这个过程继续进行。此时16的索引为4，来看它的左右孩子，此时只有左孩子，并且16大于左孩子15，所以此时，不用进行任何操作。下沉操作结束了，此时完成了从堆中取出一个元素，取出元素之后依然维持了堆的性质。
6、Heapify将任意数组整理成堆的形状，由于堆是一棵完全二叉树，所以可以使用数组来表示，此时，如何将任意数组整理成堆的形状。
此时，从最后一个非叶子节点22开始向前遍历，进行siftDown下沉操作，22和它的左右孩子进行比较，22比左孩子62小，就进行下沉。此时22已经是叶子节点了，下沉操作就结束了。
之后，看索引为3对应的节点13，找到13的左右孩子的最大值，然后13和左右孩子最大值41进行比较，13小于41，13和41交换位置，此时，13变成了叶子节点，无法进行下沉了，这次下沉操作结束。
此时，看索引为2所对应的节点19，找到19的左右孩子的最大值，然后19和左右孩子最大值28进行比较，19小于28，19和28交换位置，此时，19变成了叶子节点，无法进行下沉了，这次下沉操作结束。
此时，看索引为1所对应的节点17，找到17的左右孩子的最大值，然后17和左右孩子最大值62进行比较，17小于62，17和62交换位置，此时，17还有一个左孩子22，17和左孩子22进行比较，17小于22，所以17和22进行交换，此时17变成了叶子节点，无法进行下沉了，这次下沉操作结束。
此时，看索引为0所对应的节点15，找到15的左右孩子的最大值，然后15和左右孩子最大值62进行比较，15小于62，15和62交换位置。此时，15还有两个左右孩子，15和左右孩子最大值41进行比较，15小于41，所以15和41进行交换。此时，15还有两个左右孩子，15和左右孩子最大值30进行比较，15小于30，所以15和30进行交换，此时15变成了叶子节点，无法进行下沉了，这次下沉操作结束。
7、最大堆的实现代码，如下所示：
1 package com.maxHeap;
2
3 import com.company.Array;
4
5 import java.util.Random;
6
7 /**
8 * 最大堆，由于规定了每个节点的值都要大于等于左右孩子节点的值，所以要具有可比较性
9 */
10 public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
11
12 // 动态数组
13 public Array<E> data;
14
15 // ctrl + f12查看方法，变量等等
16 // fn + alt + insert 构造方法
17
18 /**
19 * 如果直到动态数组的大小，可以直接创建
20 *
21 * @param capacity
22 */
23 public MaxHeap(int capacity) {
24 data = new Array<>(capacity);
25 }
26
27
28 /**
29 * 传递的数组参数转换为堆的形状，放到data的数组中。
30 * <p>
31 * <p>
32 * Heapify的算法复杂度，将n个元素逐个插入到一个空堆中，算法复杂度是O(nlogn)级别的。
33 * <p>
34 * <p>
35 * 如果使用的是heapify的过程，算法复杂度是O(n)级别的。
36 *
37 * @param arr
38 */
39 public MaxHeap(E[] arr) {
40 // 首先拷贝一份用户传递的数组元素，放入到动态数组中。
41 // 根据传递的数组，生成一个新的动态数组
42 data = new Array<>(arr);
43 // 此时data已经存放了用户传递的arr数组元素的值
44
45 // 从最后一个非叶子节点开始向前依次遍历，进行元素的下沉
46 // 从最后一个非叶子节点开始，最后一个节点的索引的父亲节点的索引。
47 for (int k = this.parent(arr.length - 1); k >= 0; k--) {
48 this.siftDown(k);
49 }
50 }
51
52 /**
53 * 无参构造函数，如果不知道动态数组的大小，默认大小长度是10
54 */
55 public MaxHeap() {
56 data = new Array<>();
57 }
58
59 /**
60 * 返回堆中的元素个数
61 *
62 * @return
63 */
64 public int size() {
65 return data.getSize();
66 }
67
68 /**
69 * 返回一个布尔值，表示堆中是否为空
70 *
71 * @return
72 */
73 public boolean isEmpty() {
74 return data.isEmpty();
75 }
76
77 /**
78 * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
79 *
80 * @param index
81 * @return
82 */
83 private int parent(int index) {
84 if (index == 0) {
85 throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't hava parent.");
86 }
87 return (index - 1) / 2;
88 }
89
90 /**
91 * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引。
92 *
93 * @param index
94 * @return
95 */
96 private int leftChild(int index) {
97 return index * 2 + 1;
98 }
99
100 /**
101 * 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引。
102 *
103 * @param index
104 * @return
105 */
106 private int rightChild(int index) {
107 return index * 2 + 2;
108 }
109
110
111 /**
112 * 向堆中添加元素。时间复杂度是O(logn)
113 *
114 * @param e
115 */
116 public void add(E e) {
117 // 向动态数组中添加一个元素
118 data.addLast(e);
119
120 // 开始维护堆的性质
121 // 参数是，希望上浮的那个元素所对应的索引是多少，即最后一个元素的索引
122 siftUp(data.getSize() - 1);
123 }
124
125 /**
126 * 元素上浮过程
127 *
128 * @param k
129 */
130 private void siftUp(int k) {
131 // 首先，不能已经达到了根节点，所以k必须大于零的。
132 // 如果该节点的父亲节点小于当前节点就进行上浮操作
133 while (k > 0 && data.get(this.parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0) {
134 // 将当前节点所处的元素和父亲节点的元素进行比较
135 // 如果当前节点所处的元素大于父亲节点的元素的值，将它们进行交换，进行上浮的动作。
136 data.swap(k, this.parent(k));
137 // 此时，让该节点元素的父亲节点的索引赋值给当前元素，
138 // 下一轮循环的时候，可以看当前的k已经来到了新的位置，
139 // 对于新的位置，是不是依然不满足堆的性质，就是它在新的位置
140 // 上的父亲节点所在的元素还要大，还要大就进行交换，依次类推。
141 // 直到走到了索引为0或者该节点小于父亲节点的元素。
142 k = parent(k);
143 }
144 }
145
146 /**
147 * 看堆中的最大元素
148 *
149 * @return
150 */
151 public E findMax() {
152 if (data.getSize() == 0) {
153 throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
154 }
155 return data.get(0);
156 }
157
158 /**
159 * 取出堆中最大元素。时间复杂度是O(logn)
160 *
161 * @return
162 */
163 public E extractMax() {
164 // 首先，保存堆中的最大元素，暂存最大元素
165 E ret = this.findMax();
166 // 将堆顶元素和最后一个元素交换位置
167 data.swap(0, data.getSize() - 1);
168 // 交换完位置之后，此时已经将堆顶的元素放到数组的末尾了，数组末尾元素放在了堆顶位置
169
170 // 删除最大元素，删除处于数组末尾的堆顶元素
171 data.removeLast();
172
173 // 开始进行元素的下沉，参数是索引位置为0
174 siftDown(0);
175
176 // 将最大元素返回，然后将最大元素从堆中删除
177 return ret;
178 }
179
180 /**
181 * @param k 索引K
182 */
183 private void siftDown(int k) {
184 // 循环遍历，什么时候结束呢，
185 // 最极端的情况，k这个位置所处的节点，已经没有孩子了，当下沉到叶子节点的时候就结束了，
186 // 即，如果对于k这个节点的左孩子所在的索引小于数组的长度的时候，
187 // 此时k的左孩子都已经越界了，肯定一个孩子都没有了，此时右孩子的索引比左孩子的索引大。
188 // 循环的意思是，如果左孩子小于数组长度，就一直循环，否则就终止循环。
189 while (leftChild(k) < data.getSize()) {
190 // 比较k这个节点和k的左右孩子中最大的那个节点，看看k和这个最大的节点到底那个比较大，
191 // 先找到k左右孩子中最大的节点。
192 // 左孩子肯定是存在的，因为leftChild(k)小于数组的长度。
193 int j = this.leftChild(k);
194 // 但是右孩子不一定存在，所以此时进行判断，j + 1就是k的右孩子所在的索引，
195 // 如果K的右孩子小于数组的长度，说明有右孩子。
196 // 如果k的右孩子大于k的左孩子
197 if (j + 1 < data.getSize() && data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0) {
198 // data[j]是leftChild和rightChild中的最大值
199 // j自增。此时j存储的是右孩子所对应的索引了。
200 // j++;
201 j = rightChild(k);
202 // 如果k没有右孩子，或者k的左孩子大于右孩子，那么j存储的就是左孩子所对应的索引。
203 }
204
205
206 // 此时，将k节点和左右孩子最大的节点进行比较，如果发现了就终止本次循环。
207 // 因为此时，父亲节点的值大于左右孩子的值了，下沉操作结束了。
208 if (data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0) {
209 break;
210 }
211
212 // 否则，就开始交换k这个索引位置和j这个索引位置的值。
213 data.swap(k, j);
214 // 交换结束之后，将j的赋值给k。进行下一轮循环，对于新的一轮k来说，是否需要继续下沉。
215 k = j;
216 }
217
218 }
219
220
221 /**
222 * 取出堆中的最大元素，并且替换成元素e。
223 * <p>
224 * <p>
225 * Replace是取出最大元素后，放入一个新元素。此时，堆中元素的总数未发生改变，
226 * 此时可以使用这样方法来实现，首先可以先extractMax，然后再add操作，
227 * 两次O(logn)的操作。但是呢，可以直接将堆顶元素替换以后Sift Down（元素进行下沉操作），
228 * 这样的话是一次O(logn)的操作。
229 *
230 * @param e
231 * @return
232 */
233 public E replace(E e) {
234 // 取出最大元素的值
235 E ret = findMax();
236 // 此时，将0索引位置的元素替换成e
237 data.set(0, e);
238 // 然后使用下沉元素，使得根节点元素符合堆的性质
239 siftDown(0);
240
241 // 将最大元素的值返回
242 return ret;
243 }
244
245
246 /**
247 * 对使用heapify或者不使用的时候进行性能测试
248 * <p>
249 * 使用heapify的方式进行元素添加，或者自己将元素添加到空堆中。
250 *
251 * @param data
252 * @param isHeapify 是否使用heapify
253 * @return
254 */
255 private static double performanceTesting(Integer[] data, boolean isHeapify) {
256 // 创建一个变量存储开始时间
257 long startTime = System.nanoTime();
258
259 // 创建一个变量
260 MaxHeap<Integer> maxHeap;
261 // 判断是否使用heapify
262 if (isHeapify) {
263 // true是使用heapify，此时将数组传入到构造函数中就实现了使用heapify方法
264 maxHeap = new MaxHeap<>(data);
265 } else {
266 // 创建一个maxHeap对象
267 maxHeap = new MaxHeap<>();
268 // 循环遍历，将所有的元素值都新增到堆中
269 for (int i = 0; i < data.length; i++) {
270 maxHeap.add(data[i]);
271 }
272 }
273
274 // 验证堆的正确性
275 // 创建一个一百万长度的数组arr
276 int[] arr = new int[data.length];
277 // 取出最大元素。此时是循环一百万次，是对堆进行了一遍排序，从大到小进行排序的。
278 for (int i = 0; i < data.length; i++) {
279 // 将堆中最大的元素依次放入到数组中
280 arr[i] = maxHeap.extractMax();
281 }
282
283 // 循环判断，如果下一个元素的值小于这个元素，就抛出异常
284 // 即前一个数小于后一个数，此时不是降序的序列了。
285 for (int i = 1; i < data.length; i++) {
286 if (arr[i - 1] < arr[i]) {
287 throw new IllegalArgumentException("Error");
288 }
289 }
290
291 // 如果是降序数组，此时正常执行这句话
292 System.out.println("Test MaxHeap completed.");
293
294 // 创建一个变量存储结束时间
295 long endTime = System.nanoTime();
296 // 将纳秒转换为秒返回即可
297 return (endTime - startTime) / 1000000000.0;
298 }
299
300
301 public static void main(String[] args) {
302 // // 初始化一百万
303 // int n = 1000000;
304 // // 初始化堆
305 // MaxHeap<Integer> maxHeap = new MaxHeap<>();
306 // // 创建一个随机对象
307 // Random random = new Random();
308 // // 将一百万个随机数扔到堆中
309 // for (int i = 0; i < n; i++) {
310 // // 0-到Integet最大值
311 // maxHeap.add(random.nextInt(Integer.MAX_VALUE));
312 // }
313 //
314 // // 创建一个一百万长度的数组arr
315 // int[] arr = new int[n];
316 // // 取出最大元素。此时是循环一百万次，是对堆进行了一遍排序，从大到小进行排序的。
317 // for (int i = 0; i < n; i++) {
318 // // 将堆中最大的元素依次放入到数组中
319 // arr[i] = maxHeap.extractMax();
320 // }
321 //
322 // // 循环判断，如果下一个元素的值小于这个元素，就抛出异常
323 // // 即前一个数小于后一个数，此时不是降序的序列了。
324 // for (int i = 1; i < n; i++) {
325 // if (arr[i - 1] < arr[i]) {
326 // throw new IllegalArgumentException("Error");
327 // }
328 // }
329 //
330 // System.out.println("Test MaxHeap completed.");
331
332
333 // 初始化一百万
334 int n = 1000000;
335 // 初始化数组
336 Integer[] data = new Integer[n];
337 // 创建一个随机对象
338 Random random = new Random();
339 // 将一百万个随机数扔到堆中
340 for (int i = 0; i < n; i++) {
341 // 0-到Integet最大值
342 data[i] = random.nextInt(Integer.MAX_VALUE);
343 }
344
345 // 第一次使用的是一个一个元素新增到堆中
346 double time1 = MaxHeap.performanceTesting(data, false);
347 System.out.println("Without heapify time1 : " + time1);
348
349 // 第二次使用heapify的方式将元素添加到堆中
350 double time2 = MaxHeap.performanceTesting(data, true);
351 System.out.println("with heapify time2 : " + time2);
352
353 }
354
355 }