具体数学-第5课（8种方法求和）

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今天继续讲求和的方法。 针对以下求和式，我们用8种方法来求解：

大家应该都已经背上了它的答案：

方法0

查表。 这就不用说了，很多文献都有现成的解，拿来直接用就行了。 再给大家推荐一个整数序列查询网站OEIS：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)

方法1

猜答案，然后用数学归纳法证明。 这个也不多说了，前提是你得猜得出来，这题的公式还是很难猜的。

方法2

扰动法。 令

所以

解出

最终得到

可以看出，我们本来是要对

求和的，但是只要对

用扰动法求和即可，因为求和过程中

项会被抵消掉。

方法3

成套方法。 定义如下递归式：

由第2课可知，设解的形式为：

分别令

可以解出

再另

，可以得到

即

这时如果令

那么

方法4

积分法 求和式可以近似成积分

但是还少算了一部分误差，设为

，则有

解得

所以

其实这种方法就是把最高次直接给算出来了，低次项可以直接求和的。

方法5

扩展成二重指标求和

所以

方法6

用有限微分求和 微分的形式大家都知道，如下：

那如果我们定义

则有

似乎并不能和导数形式统一起来，用起来也不方便，那么我们定义一个新的函数，叫做下降阶乘幂：

同理还可以定义上升阶乘幂。 这个函数有一个很好的性质，那就是

令

那么和积分类似，有

所以

因为有

所以

同样可以得到

下降阶乘幂还有很多好用的性质，下节课继续。

方法7

生成函数。 以后章节会讲。