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可数加性效应理论中确定性模型和概率模型的二分法(CS AI)

效应理论是一种相对新的范畴逻辑方法,可以看作是广义概率理论(GPTs)的抽象形式。 虽然GPT的标量总是真实的单位间隔[0,1],但在一个效应中,它们可以形成任何效应单形。 因此,有相当奇特的效应,是由更多的病理效应单核。 在本文中,我们介绍了σ效应,其中定义了某些可数和的形态。 我们特别研究σ效应,其中未归一化的状态可以归一化。 我们表明,具有归一化的非平凡σ效应具有两元效应单极{0,1}或实际单位间隔[0,1]的标量。 当状态和/或谓词分离变形时,我们会发现在{0,1}情况下,类别必须嵌入到集合和部分函数的类别(因此是布尔代数的类别)中,表明它实现了确定性模型,而在[0,1]情况下,我们发现它嵌入到Banach阶单元空间和Banach基前范数空间的类别(满足附加属性)中,恢复GPTS中存在的结构。 所以,从抽象的范畴和操作的考虑,我们可以发现物理理论的确定性和凸概率模型之间的二分法。

原文题目:Dichotomy between deterministic and probabilistic models in countably additive effectus theory

原文:Effectus theory is a relatively new approach to categorical logic that can be seen as an abstract form of generalized probabilistic theories (GPTs). While the scalars of a GPT are always the real unit interval[0,1], in an effectus they can form any effect monoid. Hence, there are quite exotic effectuses resulting from more pathological effect monoids.

In this paper we introduceσ-effectuses, where certain countable sums of morphisms are defined. We study in particularσ-effectuses where unnormalized states can be normalized. We show that a non-trivialσ-effectus with normalization has as scalars either the two-element effect monoid{0,1}or the real unit interval[0,1].

When states and/or predicates separate the morphisms we find that in the{0,1}case the category must embed into the category of sets and partial functions (and hence the category of Boolean algebras), showing that it implements a deterministic model, while in the[0,1]case we find it embeds into the category of Banach order-unit spaces and of Banach pre-base-norm spaces (satisfying additional properties), recovering the structure present in GPTs.

Hence, from abstract categorical and operational considerations we find a dichotomy between deterministic and convex probabilistic models of physical theories.

原文作者:Kenta Cho,Bas Westerbaan,John van de Wetering

原文地址:https://arxiv.org/abs/2003.10245

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