数学|如何求解线性方程系数？

问题描述

线性方程在生活的出现的比例很高，很多地方都可以出现它的身影。这些方程都是通过对实际数据的分析处理得来的，那么这些方程到底该如何确定呢？就像下面的散点图，如何通过它得到一个线性方程？

图1 大致符合线性方程的散点图

解决方案

对于上面的散点图，可以设一元线性方程：y=k*x+b，为了评价这里的系数k和b的好坏，一般可以采用求实际值和预测值的均方差MSE，当MSE达到最小值时，系数也就达到了最优，和实际情况最接近。

由均方差的定义可知：

可见MSE是一个关于k和b的二元一次方程，对于一元函数，图像是一个平面，十分常见，而二元函数的图像则是一个空间，可参见下图。

图2 二元函数f（x，y）图像

于是问题就转变成了找到MSE最小时对应的k和b。以简单的sin函数为例，观察函数图像可以发现任意函数值对应的xi值要想到达函数值最小时的位置x0，都需要向着梯度降低的方向移动。

图3 sin函数的部分图像

不妨设:

这里的r是一个衰减系数，也可以理解为自变量向理想值移动的系数。但是只经由一次计算是不准确的，因为这里的r是未知的，为了更加准确，只有将r尽可能地设置小，然后将得到x0的赋值给下一个xi，多次运算，使最终的结果尽可能的逼近真实值。

所以，对于MSE函数，我们也可以采取同样的操作，让k和b逼近真实值。

带入（1）式，结合复合函数的求导法则，可以得到：

有了上面两个式子，只要把把已知的数据带入（x，y），通过多次运算，就可以得到k0和b0。

结语

对于上述问题，分析了求解简单线性方程系数，这里的系数只有两个，但是这个方法同样适用于含有多个系数的函数问题，只要套用这个方法，得出系数向理想值靠拢的公式，也就能较准确的求出多个系数。

END

主 编 | 王文星

责 编 | 饶龙江

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