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数学|欧拉公式的简单证明

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一 什么是欧拉公式

在数学中,sin函数和cos函数是最近乎完美的周期函数,e是自然对数的底,i是数学界中唯一一个平方为负的数字,这几者一般很少有联系,而欧拉公式则很完美的将它们联系在了一起,且关系简单明了:

图1 欧拉公式

相信很多人第一眼看到这个公式会觉得不可思议,三角函数怎么会和指数函数有这么直接的关系,现在不妨来看看它的一个简单证明。

二 欧拉公式的证明

学过高数中泰勒展开式的人应该很熟悉下面这个表达式,这是一般函数的泰勒展开式,

图2 一般函数的泰勒展开式

e的x次方这个函数的泰勒展开式也可以通过上述表达式得到:

图3 ex泰勒展开式

同理sin(x)和cos(x)的泰勒展开式如下:

图4 sin函数和cos函数的泰勒展开式

将sin(x)和cos(x)的泰勒展开式相加的时候会得到下面的式子:

观察上述式子,可以发现它已经和e的x次方的泰勒展开式相差不大了,只是有一些地方存在符号的差异,仔细观察可以发现,cos(x)的泰勒展开式中除了x的0次幂项也就是第一项和x的4的倍数次幂的项符号为正,其余为负。针对这个规律,可以采取对e的x次方变号的方法。对于一般的变号方法,采取的是在变量x前面乘以一个-1,但是-1的特点是偶次幂为正,奇次幂为负,无法达到想要的效果,那么是否存在一个数字满足4的倍数次幂的项符号为正呢?答案是存在这样一个数字,他就是虚数单位i,于是,将e的x次方变成e的ix次方后得到新的泰勒展开式:

再次观察这个新式子,可以发现在x的奇次幂项的位置多了一个i,而这些奇次幂正好可以由sin(x)乘以i组成,得到新的泰勒展开式:

现在将(2)式和(3)式相加可以得到:

三 欧拉公式的特殊形式

特别的,当x=Π时,欧拉公式可以简写为e的iΠ次方-1=0,这个式子也被人们称为最完美的公式,它将自然对数的底数e、虚数单位i、和1完美的结合在一起,向世人阐述了数学的魅力。

END

主 编 | 王文星

责 编 | 饶龙江

where2go 团队

本文分享自微信公众号 - 算法与编程之美(algo_coding),作者:饶龙江

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原始发表时间:2020-04-11

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