从零开始深度学习（三）：逻辑回归
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1、二分类
下面要学习的是神经网络的基础知识，其中需要注意的是，当实现一个神经网络的时候，需要知道一些非常重要的技术和技巧，闲言少叙，直接开搞。
逻辑回归(logistic regression) 是一个用于 二分类(binary classification) 的算法。首先从一个问题——猫咪识别开始说起，如果识别这张图片为猫，则输出标签1作为结果；如果识别出不是猫，那么输出标签0作为结果。用字母 来表示输出的结果标签，如下图所示：
如上图所示，一张图片在计算机中对应三个矩阵，分别对应图片中的红、绿、蓝三种颜色通道，且图片大小与三个矩阵相同，分别对应图片中红、绿、蓝三种像素的强度值。
为了把这些像素值转换为 特征向量 ，需要定义特征向量表示图片，把像素都取出来，也就是矩阵中的数据，例如255、231等等，取完红色像素接着是绿色像素，最后是蓝色像素，直到得到特征向量，也就是图片中红、绿、蓝像素排列的值。如果图片的大小为64x64像素，那么 的总维度，是64 * 64 * 3，也即是三个像素矩阵中的像素总量（12288）。
现在用 来表示输入特征向量的维度，有时为了简洁，直接用小写的 来表示。所以二分类问题中，最终的目标就是习得一个分类器，以图片特征向量作输入，预测输出结果 是1还是0，即预测图片中是否有猫。
符号定义 ：
：表示一个 维数据，为输入数据，维度为 ；
：表示输出结果，取值为 ；
：表示第 组数据，可能是训练数据，也可能是测试数据，此处默认为训练数据；
：表示所有的训练数据集的输入值，放在一个 的矩阵中，其中 表示样本数目;
：对应表示所有训练数据集的输出值，维度为 。
2、逻辑回归
对于二元分类问题，给定输入特征向量 ，它可能对应一张图片，如果想识别这张图片是否是猫的图片，怎么做？
定义算法的输出预测为 ，也就是对实际值 的估计。更正式地来说， 表示 等于1的一种可能性或者是几率，当然，前提条件是给定了输入特征 。
上面说过 是一个 维的向量，相当于有 个特征的特征向量。 表示逻辑回归的参数，也是一个 维向量，因为 实际上是 特征权重，维度与特征向量相同。参数里面还有 ，是一个实数，表示偏差。所以给出输入以及参数后，一个可以尝试却不可行的结果是 。
为什么说可以尝试，却不可行呢？注意，这时得到的实际上是线性回归时用到的一个关于输入 的线性函数，但这对二元分类问题来讲，却不是一个非常好的算法。因为 表示实际值 等于1的几率，也就是说 应该在0到1之间。
这是一个需要解决的问题，因为 可能比1要大得多，更有甚者，可能是一个负值，但是我们想要的是一个概率。因此，在逻辑回归中，输出是 作为自变量的 sigmoid 函数的输出值。有点绕，其实简单来说， 。
如上图所示，就是 sigmoid 函数的图像，它平滑地从0走向1，这里的作用其实还是把线性函数转换为非线性函数。
关于 sigmoid 函数的公式是这样的
这里要注意的是，从图像可以看出两点：
- 如果 非常大，那么 将会接近于0， 会非常接近1。
- 相反地，如果 非常小或者一个绝对值很大的负数，那么 会变得很大， 就接近于0。
因此当实现逻辑回归时， 在0到1之间，成为对 概率的一个很好的估计。
3、代价函数
为什么需要代价函数（也翻译作成本函数）？
为了训练逻辑回归模型，得到参数 和参数 。
看到这里你可能有点蒙逼，先来看一下损失函数吧，你可能会问那 什么是损失函数？ 损失函数又叫做 误差函数，用来衡量算法的运行情况，Loss function：.。通过这个 ，也就是损失函数，来衡量预测输出值和实际值有多接近。
一般的损失函数有预测值和实际值的平方差或者它们平方差的一半，但是通常在逻辑回归中不这么做，为什么？因为在学习逻辑回归参数时，会发现优化目标不是 凸优化（在凸优化中局部最优值必定是全局最优值），只能找到多个局部最优值，很可能找不到全局最优值。所以虽然平方差是一个不错的损失函数，但在逻辑回归模型中定义的是另外一个损失函数，即
为什么要用这个函数作为逻辑损失函数？来举两个例子你就懂了，首先确定一件事，无论解决什么问题，你肯定想要误差尽可能地小。好了，现在来看例子吧：
- 当 时损失函数 ，如果想要损失函数 尽可能得小，那么 就要尽可能大，因为 sigmoid 函数取值 ，所以 会无限接近于1。
- 当 时损失函数 ，如果想要损失函数 尽可能得小，那么 就要尽可能小，因为 sigmoid 函数取值 ，所以 会无限接近于0。
而在逻辑回归中，我们期待的输出就是1或者0，是不是这个损失函数更好呢？:)
可以看出来，损失函数是在单个训练样本中定义的，它衡量的是算法在单个训练样本中表现如何。那么怎么衡量算法在全部训练样本上的表现如何？
需要定义一个算法的 代价函数，算法的代价函数，是对 个样本的损失函数求和，然后除以 ：
在训练逻辑回归模型时，找到合适的 和 ，来让代价函数 的总代价降到最低即为所求。