专栏首页数值分析与有限元编程平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵

平面四边形等参单元(Q4)的刚度矩阵

xOy

坐标系(物理坐标系)下Q4单元的刚度矩阵为

\mathbf k =t\iint_{A}\mathbf B^TDBdx dy

此时应变矩阵

B

x,y

的函数

\mathbf B= \begin{bmatrix} \mathbf B_1 & \mathbf B_2 & \mathbf B_3 & \mathbf B_4 \\\end{bmatrix}

其中

\mathbf B_i= \begin{bmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ \frac{\partial N_i}{\partial x} & \frac{\partial N_i}{\partial y}\\ \end{bmatrix} (i=1,2,3,4)

单元刚度矩阵,等效节点荷载,单元应力,应变等物理量是通过

xOy

坐标系表达,而在计算时却是在

\xi O \eta

坐标系下。因此

\mathbf k =t\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\mathbf B^T \mathbf D \mathbf B|\mathbf J|d\xi d\eta

此时应变矩阵

B

\xi,\eta

的函数

两个坐标系下坐标转换的桥梁为

x=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)x_k
y=\sum_{k=1}^4 N_k(\xi, \eta)y_k

其中

(x_k,y_k)

xOy

坐标系中单元四个顶点坐标,

N_k(k=1,2,3,4)

是形函数

N_1(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta)
N_2(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta)
N_3(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta)
N_4(\xi, \eta)=\frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)
xOy

坐标系中任意函数

f(x,y)

在坐标系

\xi O \eta

的表达式为

f(x(\xi, \eta),y(\xi, \eta))

,根据链式求导法则

\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial \xi}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \xi}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \xi}\\ \frac{\partial f}{\partial \eta}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \eta}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \eta} \end{cases}

或者

\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial \xi}\\ \frac{\partial f}{\partial \eta} \\ \end{pmatrix} =J \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \end{pmatrix}

其中,

J

是雅可比矩阵

J= \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta}\\\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} J_{11}& J_{12} \\J_{21}& J_{22}\\\end{bmatrix}
J^{-1}=\frac{1}{|J|} \begin{bmatrix} J_{22}& -J_{12} \\-J_{21}& J_{11}\\\end{bmatrix}

其中

J_{11}=\frac{1}{4}[-(1-\eta)x_1+(1-\eta)x_2+(1+\eta)x_3-(1+\eta)x_4]
J_{12}=\frac{1}{4}[-(1-\eta)y_1+(1-\eta)y_2+(1+\eta)y_3-(1+\eta)y_4]
J_{21}=\frac{1}{4}[-(1-\xi)x_1-(1+\xi)x_2+(1+\xi)x_3+(1+\xi)x_4]
J_{22}=\frac{1}{4}[-(1-\xi)y_1-(1+\xi)y_2+(1+\xi)y_3+(1+\xi)y_4]

由此可得

\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \end{pmatrix} =J^{-1} \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial \xi}\\ \frac{\partial f}{\partial \eta} \\ \end{pmatrix}

f

换成形函数

N_i
\begin{pmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial x}\\ \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ \end{pmatrix} =J^{-1} \begin{pmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial \xi}\\ \frac{\partial N_i}{\partial \eta} \\ \end{pmatrix}

例如

\begin{pmatrix} \frac{\partial N_1}{\partial x}\\ \frac{\partial N_1}{\partial y} \\ \end{pmatrix} =J^{-1} \begin{pmatrix} -\frac{1}{4}(1-\eta)\\ -\frac{1}{4}(1-\xi)\\ \end{pmatrix}
=\frac{1}{4| \mathbf J|}\begin{pmatrix} -J_{22}(1-\eta)+J_{12}(1-\xi)\\ J_{21}(1-\eta)-J_{11}(1-\xi)\\ \end{pmatrix}

\xi O \eta

坐标系下

\mathbf B_1= \frac{1}{4| \mathbf J|} \begin{bmatrix} -J_{22}(1-\eta)+J_{12}(1-\xi)& 0 \\ 0 & J_{21}(1-\eta)-J_{11}(1-\xi) \\ -J_{22}(1-\eta)+J_{12}(1-\xi)& J_{21}(1-\eta)-J_{11}(1-\xi)\\ \end{bmatrix}

\mathbf k =t\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1} \begin{bmatrix} \mathbf B_1 \\ \mathbf B_2 \\ \mathbf B_3 \\ \mathbf B_4 \\ \end{bmatrix} \mathbf D \begin{bmatrix} \mathbf B_1& \mathbf B_2 & \mathbf B_3 & \mathbf B_4 \\\end{bmatrix} |\mathbf J|d\xi d\eta

k是

8\times8

矩阵,若将

\mathbf B^T \mathbf D \mathbf B|\mathbf J|

看作函数

g(\xi,\eta)

,则

g(\xi,\eta)

也是

8\times8

列阵。

k_{mn}=t\sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 w_i w_j g(\xi_i,\eta_j)_{mn}

注意

\xi_i,\eta_j

是积分点的坐标。

等参数单元(简称等参元)就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数目的节点参数和相同的形函数进行变换而设计出的一种单元类型。

优点:由于等参变换的采用使等参单元的刚度、质量、阻尼、荷载等特性矩阵的计算在规则域内进行,因此不管矩阵表示的被积函数如何复杂,仍然可知以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此,等参元已成为有限元法道中应用最为广泛的单元形式。

本文分享自微信公众号 - 数值分析与有限元编程(program_fem),作者:苦丁茶123

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原始发表时间:2020-05-07

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