债券收益率曲线构建

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引言

本文是金融工程系列的第十四篇

1. 弄清量化金融十大话题 (上)
2. 弄清量化金融十大话题 (下)
3. 金融工程高度概览
4. 日期生成
5. 变量计算
6. 模型校正
7. 曲线构建 I - 单曲线
8. 曲线构建 II - 多曲线 (基差)
9. 曲线构建 III - 多曲线方法 (抵押品)
10. 债券收益率曲线构建
11. 测度转换 (上) - 等价物转换
12. 测度转换 (下) - 漂移项转换
13. 产品估值理论
14. 产品估值 - 解析法和数值积分法 (CF)
15. 产品估值 - 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
16. 产品估值 - 蒙特卡洛模拟法 (MC)
17. 产品风险理论 (AAD)
18. 风险计量 - 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
19. 风险计量 - 风险价值 (VaR)
20. 价值调整 - 凸性调整
21. 价值调整 - Quanto 调整
22. 价值调整 - 时间调整
23. 价值调整 - CVA
24. 价值调整 - DVA
25. 价值调整 - FVA
26. 价值调整 - MVA
27. 价值调整 - KVA

在构建掉期曲线（swap curve）时，每个标准年限都对应着一个市场报价，这样我们通常可以完美拟合出市场上它们的价格，但在构建债券曲线（bond curve）时，市场报价的债券到期日各不相同，我们只能近似拟合出它们的价格。

本帖我们就用 Nelson-Siegel (NS) 模型来拟合欧元区金融债 AA 评级的收益率曲线。结构如下：

1. 介绍 NS 模型
2. 介绍拟合方法
3. 展示代码产出

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Nelson-Seigel 模型

Nelson-Siegel (NS) 模型最早由 Nelson 和 Siegel 于 1987 年提出，该模型适用于利率期限结构分析。NS 模型中有四个参数，每个都有自身的经济含义，而且不同参数值能描述不同情境下的利率曲线的变动情况。

瞬时远期利率

首先 NS 模型制定了瞬时远期利率（instantaneous forward rates）的形式：

该模型有四个参数 β0, β1, β2, λ，其中 τ = T - t 是到期年限，λ > 0。

瞬时远期利率 f(t, T) 里面有三项：

• 第一项 β0 是当 τ 趋近无穷大时的远期利率，因此 β0= f(∞)。
• 第二项是个单调函数，当 β1> 0 时递减，当 β1 < 0 时递增。
• 第三项是个非单调函数，可以产生 hump。

当 τ 趋近零时，第二项趋近于 β1，第三项趋近于 0，因此 f(0) = β0 + β1。

我用第三节拟合出来的参数

β0 = 0.03397838

β1 = -0.03586764

β2 = -0.03236844

λ = 4.03815169

来分解 NS 模型中的三项，得到下图：

注意 β1 是负数，因此第二项是增函数，注意蓝线缓缓向上。β2 也是负数，因此第三项是先减后增，有个谷底（而不是峰顶）。

即期利率

根据即期利率和瞬时远期利率之间的关系，我们求积分得到

即期利率 R(T – t) 里面也有三项。

• 第一项 β0 是当 τ 趋近无穷大时的即期利率，因此 β0 =R(∞)。
• 第二项是个单调函数，当 β1> 0 时递减，当 β1 < 0 时递增。
• 第三项是个非单调函数，可以产生 hump。

当 τ 趋近零时，第二项趋近于 β1，第三项趋近于 0，因此 R(0) = β0 + β1。

将上面等式写成因子形式

这样容易看出：

• β0 的因子载荷是常数，对于对所有期限利率的影响是相同的，因此 β0 可控制利率水平（level），它的变动会使得收益率曲线发生水平上下移动。
• β1 的因子载荷是单调递减，从1 很快的衰减到 0，这表明 β1 对短端利率的影响较大，因此 β1 可控制曲线斜率（slope），影响着利率曲线的斜率程度。
• β2 的因子载荷先增后减，从 0 增到 1 再减到 0，这表明 β2 对利率曲线的短端和长端影响较弱，对中端的影响较大，因此 β2 控制曲线曲率（curvature）。
• τ 是 β1 和 β2 的因子载荷的衰减速度，该值越大衰减越快。

用 NS 模型可以模拟利率曲线的最基本的三种形式：平移、斜率和曲率，足够了。在 NS 基础上，Svensson 在 1994 年做了改进，为了能多模拟一个 hump 形状而增加了两个参数。该模型下的瞬时远期利率的形式为

同时求积分我们可以得到其即期利率：

Svensson 模型可以处理两个 hump，模型表达能力更强了，但是对于简单类型的利率曲线也更容易过拟合。我在实际操作中没有发现它显著强于 NS 模型，而且在拟合 10 几年的债券收益率曲线时，Svensson 模型更容易发生参数跳跃的情形，这不是我们希望看到的结果。因此我偏向于用 NS 模型。

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拟合方法

在某个行业某个评级下都有一系列交易的债券，根据其市场价格或收益率我们可以拟合出来一条收益率曲线。在某个观测日（假设为 2020 年 1 月 24 日），拿欧元区 AA 金融行业（EUR Financial AA）举例，我们有如下市场信息：

拟合曲线就是最小化以下的目标函数，它是所有 n 个交易债券的市场价格和模型价格之差的加权平方：

其中 DPimkt 是债券的市场全价（dirty price），它等于市场净价（clean price）加上累积利息（accrual interest）

而 DPimdl 是债券的模型全价，其表达式为

其中折现因子为

权重可以是等权重，也可以是修正久期（modified duration）的倒数：

其中修正久期等于麦考利久期（Macaulay duration）除以 1 加上到期收益率

一些选取初始值的技巧包括：

• 根据 R(∞)= β0, R(0) = β0+ β1，我们可以找出交易债券中到期最短和最长的两个收益率 yS 和 yL，然后将 β0 的初始值设置为 yL，将 β1 的初始值设置为 yS – yL。
• 将 β2 的初始值设置为 0，假设曲线一开始没有 hump。
• 对于 λ 创建一个初始值网格（grid），在上下界 [λmin, λmax] 中平均分成 5 段，λmin 通可定为 1/30，而 λmax 是在最长到期日 τL 下的 hump 对应极值的 λ。

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代码展示

引入所有需要的包：

NS 模型下的核心函数（计算瞬时远期利率、即期利率、折现因子、离散远期利率）：

读取数据，将债券发行日和到期日用 pd.to_datetime() 转成专门的日期格式。

生成每个债券的付息日（假设每年付息一次，具体付息频率要看 termsheet）

生成每个债券的到期日期限 T、累积利息 AI、付息日年限 year_facr、现金流 cashflows 和修正久期 MD：

更新 DataFrame bonds。

定义目标函数，用修正久期的倒数加权。

核心 NS 模型拟合函数，用 scipy.optimize 一把梭就完了。

运行结果，速度还挺快，1-2 秒钟就出来了。

可视化一下结果，注意红框的市场收益率和黑点的模型收益率蛮接近。

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总结

本文只展示了拟合某行业某评级一天的收益率曲线，在实际操作中，我们做的事拟合各行业各评级几年的收益率曲线，这时候有三个问题要注意：

1. 去掉交易量不活跃的报价（比较主观）
2. 曲线近端的拟合：引入短期限的 IBOR
3. 模型参数的跳跃：NS 模型加限制条件，目标函数加惩罚项