NLP经典算法复现！CRF原理及实现代码
NLP经典算法复现！CRF原理及实现代码
寄语：本文先对马尔可夫过程及隐马尔可夫算法进行了简单的介绍；然后，对条件随机场的定义及其三种形式进行了详细推导；最后，介绍了条件随机场的三大问题，同时针对预测问题给出了代码实践。
条件随机场(conditional random fields，简称 CRF，或CRFs)，是一种判别式概率模型，常用于标注或分析序列资料，如自然语言文字或是生物序列。
条件随机场是条件概率分布模型P(Y|X)，表示的是给定一组输入随机变量X的条件下另一组输出随机变量Y的马尔可夫随机场，也就是说CRF的特点是假设输出随机变量构成马尔可夫随机场。
知识框架
马尔可夫过程
定义：假设一个随机过程中， 时刻的状态的条件发布，只与其前一状态 相关，即：
则将其称为马尔可夫过程。
隐马尔可夫算法(HMM)
1、定义
隐马尔可夫算法是对含有未知参数（隐状态）的马尔可夫链进行建模的生成模型，如下图所示：
在隐马尔科夫模型中，包含隐状态和观察状态，隐状态对于观察者而言是不可见的，而观察状态对于观察者而言是可见的。隐状态间存在转移概率，隐状态到对应的观察状态间存在输出概率。
2、假设
假设隐状态的状态满足马尔可夫过程，时刻的状态的条件分布，仅与其前一个状态相关，即：
假设观测序列中各个状态仅取决于它所对应的隐状态，即：
3、存在问题
在序列标注问题中，隐状态（标注）不仅和单个观测状态相关，还和观察序列的长度、上下文等信息相关。例如词性标注问题中，一个词被标注为动词还是名词，不仅与它本身以及它前一个词的标注有关，还依赖于上下文中的其他词。
条件随机场
以线性链条件随机场为例
1、定义
给定均为线性链表示的随机变量序列，若在给随机变量序列X的条件下，随机变量序列Y的条件概率分布P(Y|X)构成条件随机场，即满足马尔可夫性：
则称为为线性链条件随机场。
通过去除了隐马尔科夫算法中的观测状态相互独立假设，使算法在计算当前隐状态时，会考虑整个观测序列，从而获得更高的表达能力，并进行全局归一化解决标注偏置问题。
1）参数化形式
其中：为归一化因子，是在全局范围进行归一化，枚举了整个隐状态序列的全部可能，从而解决了局部归一化带来的标注偏置问题。
为定义在边上的特征函数，转移特征，依赖于前一个和当前位置为定义在节点上的特征函数，状态特征，依赖于当前位置。
2）简化形式
因为条件随机场中同一特征在各个位置都有定义，所以可以对同一个特征在各个位置求和，将局部特征函数转化为一个全局特征函数，这样就可以将条件随机场写成权值向量和特征向量的内积形式，即条件随机场的简化形式。
- step 1 将转移特征和状态特征及其权值用统一的符号表示，设有个转移特征，个状态特征，,记
- step 2 对转移与状态特征在各个位置求和，记作
- step 3 将 和 用统一的权重表示，记作
- step 4 转化后的条件随机场可表示为：
- step 5 若 表示权重向量：以 表示特征向量，即
则，条件随机场写成内积形式为：
3）矩阵形式
2、基本问题
条件随机场包含概率计算问题、学习问题和预测问题三个问题。
- 概率计算问题：已知模型的所有参数，计算观测序列Y出现的概率，常用方法：前向和后向算法；
- 学习问题：已知观测序列Y,求解使得该观测序列概率最大的模型参数，包括隐状态序列、隐状态间的转移概率分布和从隐状态到观测状态的概率分布，常用方法：Baum-Wehch算法；
- 预测问题：一直模型所有参数和观测序列Y，计算最可能的隐状态序列X,常用算法：维特比算法。
1）概率计算问题
给定条件随机场，输入序列 和 输出序列; 计算条件概率
计算相应的数学期望问题；
前向-后向算法
- step 1 前向计算；对观测序列x的每个位置 ，定义一个阶矩阵（m为标记Y_i取值的个数），对每个指标，定义前向向量 ，则递推公式:
其中，
否则
- step 2 后向计算；对每个指标，定义前向向量，则递推公式:
- step 3
- step 4 概率计算；所以，标注序列在位置是标注的条件概率为：
其中，
- step 5 期望值计算；通过利用前向-后向向量，计算特征函数关于联合概率分布 和 条件概率分布 的数学期望，即特征函数 关于条件概率分布 的数学期望：
其中：
2）学习问题
这里主要介绍一下 BFGS 算法的思路。
输入：特征函数 ：经验分布 ；
输出：最优参数值 ，最优模型。
- 选定初始点 ， 取 为正定对称矩阵，;
- 计算 ，若 ，则停止计算，否则转 (3) ；
- 利用 计算；
- 一维搜索：求 使得
- 设
- 计算, 若， 则停止计算；否则，利用下面公式计算 :
令 ，转步骤（3）；
3）预测问题
对于预测问题，常用的方法是维特比算法，其思路如下：
输入：模型特征向量 和权重向量，输入序列（观测序列）；
输出：条件概率最大的输出序列（标记序列），也就是最优路径；
- 初始化
- 递推，对
- 终止
- 返回路径
求得最优路径
案例：利用维特比算法计算给定输入序列 对应的最优输出序列：
- 初始化
- 递推，对
- 终止
- 返回路径
求得最优路径
代码实现如下：
import numpy as np class CRF(object): '''实现条件随机场预测问题的维特比算法 ''' def __init__(self, V, VW, E, EW): ''' :param V:是定义在节点上的特征函数，称为状态特征 :param VW:是V对应的权值 :param E:是定义在边上的特征函数，称为转移特征 :param EW:是E对应的权值 ''' self.V = V #点分布表 self.VW = VW #点权值表 self.E = E #边分布表 self.EW = EW #边权值表 self.D = [] #Delta表，最大非规范化概率的局部状态路径概率 self.P = [] #Psi表，当前状态和最优前导状态的索引表s self.BP = [] #BestPath，最优路径 return def Viterbi(self): ''' 条件随机场预测问题的维特比算法，此算法一定要结合CRF参数化形式对应的状态路径图来理解，更容易理解. ''' self.D = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0) self.P = np.full(shape=(np.shape(self.V)), fill_value=.0) for i in range(np.shape(self.V)[0]): #初始化 if 0 == i: self.D[i] = np.multiply(self.V[i], self.VW[i]) self.P[i] = np.array([0, 0]) print('self.V[%d]='%i, self.V[i], 'self.VW[%d]='%i, self.VW[i], 'self.D[%d]='%i, self.D[i]) print('self.P:', self.P) pass #递推求解布局最优状态路径 else: for y in range(np.shape(self.V)[1]): #delta[i][y=1,2...] for l in range(np.shape(self.V)[1]): #V[i-1][l=1,2...] delta = 0.0 delta += self.D[i-1, l] #前导状态的最优状态路径的概率 delta += self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y] #前导状态到当前状体的转移概率 delta += self.V[i,y]*self.VW[i,y] #当前状态的概率 print('(x%d,y=%d)-->(x%d,y=%d):%.2f + %.2f + %.2f='%(i-1, l, i, y, \ self.D[i-1, l], \ self.E[i-1][l,y]*self.EW[i-1][l,y], \ self.V[i,y]*self.VW[i,y]), delta) if 0 == l or delta > self.D[i, y]: self.D[i, y] = delta self.P[i, y] = l print('self.D[x%d,y=%d]=%.2f\n'%(i, y, self.D[i,y])) print('self.Delta:\n', self.D) print('self.Psi:\n', self.P) #返回，得到所有的最优前导状态 N = np.shape(self.V)[0] self.BP = np.full(shape=(N,), fill_value=0.0) t_range = -1 * np.array(sorted(-1*np.arange(N))) for t in t_range: if N-1 == t:#得到最优状态 self.BP[t] = np.argmax(self.D[-1]) else: #得到最优前导状态 self.BP[t] = self.P[t+1, int(self.BP[t+1])] #最优状态路径表现在存储的是状态的下标，我们执行存储值+1转换成示例中的状态值 #也可以不用转换，只要你能理解，self.BP中存储的0是状态1就可以~~~~ self.BP += 1 print('最优状态路径为：', self.BP) return self.BP def CRF_manual(): S = np.array([[1,1], #X1:S(Y1=1), S(Y1=2) [1,1], #X2:S(Y2=1), S(Y2=2) [1,1]]) #X3:S(Y3=1), S(Y3=1) SW = np.array([[1.0, 0.5], #X1:SW(Y1=1), SW(Y1=2) [0.8, 0.5], #X2:SW(Y2=1), SW(Y2=2) [0.8, 0.5]])#X3:SW(Y3=1), SW(Y3=1) E = np.array([[[1, 1], #Edge:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2) [1, 0]], #Edge:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2) [[0, 1], #Edge:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2) [1, 1]]])#Edge:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2) EW= np.array([[[0.6, 1], #EdgeW:Y1=1--->(Y2=1, Y2=2) [1, 0.0]], #EdgeW:Y1=2--->(Y2=1, Y2=2) [[0.0, 1], #EdgeW:Y2=1--->(Y3=1, Y3=2) [1, 0.2]]])#EdgeW:Y2=2--->(Y3=1, Y3=2) crf = CRF(S, SW, E, EW) ret = crf.Viterbi() print('最优状态路径为:', ret) return if __name__=='__main__': CRF_manual()输出如下图：
