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有限元方法为何偏爱高斯积分

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fem178
发布2020-05-27 11:24:45
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发布2020-05-27 11:24:45
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有限元中用高斯积分(Gauss)较多,有些参考书会着重介绍高斯积分,譬如王勖成老师的《有限单元法》中会有专门一节。有限元方法为何偏爱高斯积分?个人总结有以下两个原因:

一) 积分复杂

采用等参坐标构造的等参单元刚度矩阵几乎得不到显式表达式。高斯积分很方便得到单元刚度矩阵。

二) 克服剪切锁定等问题

在实际问题中如深梁、厚板、厚壳等考虑剪切行为的单元中会出现所谓的剪切自锁,也包括一些体积自锁、膜自锁等单元中的应用。这些出现所谓自锁的单元,用少于完全积分所要求的积分点个数时,可以发现其对自锁能起到缓解作用。减缩积分的概念也容易理解,即采用少于精确积分点个数的积分。比如平面四边形等参数单元求节点位移时采用4个积分点,求单元应力时采用一个积分点。在二维、三维单元中,插值函数会有不同方向多项式的组合,也包括被积函数最终形式可能不是多项式,但仍然采用高斯积分。减缩积分带来的零能模式或沙漏,数值上可以理解为矩阵的奇异性,这就涉及到减缩积分点的布置,譬如在某一个方向采用完全积分,另外一个方向采用减缩积分,或者所有方向统一采用减缩积分。

当然还有另外一条技术路径避免剪切自锁,以假设应变为代表,强制对产生自锁的应变进行假设,然后可以仍然采用完全积分进行计算。引入的假设应变相当于添加了约束,可以用约束变分原理来实现。相对于减缩积分避免一些自锁问题,假设应变+完全积分有数值性能相当好单元,譬如在板壳中,MITC这类假设应变壳单元是性能极优异的单元之一。

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原始发表:2020-05-20,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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