数值积分|牛顿-柯特斯公式

fem178

发布于 2020-05-27 11:25:21

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文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

牛顿-柯特斯(Newton-Cotes )公式也叫插值型求积公式。已知

f(x_0),f(x_1),...,f(x_n)

的值。以这n+1个点进行拉格朗日插值，得到n次多项式，再对该n次的多项式求积分。

将积分区间

[a,b]n

等分，

x_i=a+ih

h=(b-a)/n,(i=0,1,..,n)

则n次拉格朗日插值多项式为：

L_n(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x)

其中

l_i(x)=\frac{(x-x_0)...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_n)}{(x_i-x_0)...(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)} \\ \qquad (1)

那么

\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^nf(x_i)A_i \qquad (2)

\begin{split} A_i& = \int_a^b l_i(x) dx \\ &=\int_a^b \frac{(x-x_0)...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})...(x-x_n)}{(x_i-x_0)...(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})...(x_i-x_n)} dx\\ & =h \int_0^n \frac{t(t-1)...(t-i+1)(t-i-1)...(t-n)}{(-1)^{n-k}k!(n-k)!} dx \end{split}

记

C_i^{(n)}= \frac{(-1)^{n-k}}{nk!(n-k)!}\int_0^nt(t-1)...(t-i+1)(t-i-1)...(t-n) dt \qquad(3)

A_i = (b-a)C_i^{(n)} \qquad (4)

由

(2)(4)

可得

\int_a^b f(x) dx \approx (b-a)\sum_{i=0}^nf(x_i)C_i^{(n)} \qquad (5)

这就是牛顿-柯特斯公式。其中，

C_i^{(n)}

称为柯特斯系数。

由

(3)

式可知，柯特斯系数

C_i^{(n)}

与被积函数以及积分区间都无关，只要给出积分区间的等分数n，就可以算出柯特斯系数

C_i^{(n)}

。例如，当n=2时

\begin{cases} C_0^{(2)} =\int_0^2 t(t-1) dt=\frac{1}{6} \\[2ex] C_1^{(2)} =-\frac{1}{2}\int_0^2 t(t-2) dt=\frac{4}{6} \\[2ex] C_2^{(2)} =\frac{1}{4}\int_0^2 t(t-4) dt=\frac{1}{6} \end{cases}

对应的牛顿-柯特斯公式为：

\int_a^b f(x) dx \approx \frac{(b-a)}{6}[f(a)+4f(\frac{(a+b)}{2})+f(b)] \qquad(6)

此即为辛普森(Simpson)公式。

为了便于应用，将柯特斯系数列出，可以快速写出牛顿-柯特斯公式。

牛顿-柯特斯公式的缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），一般取低阶公式计算。

[算例] 用牛顿--柯特斯公式计算积分

\int_{0.6}^1 \frac{1}{1+x^2} dx

n=1

时

I \approx \frac{1-0.6}{2}[\frac{1}{1+0.6^2}+\frac{1}{1+1^2}]=0.2470588

n=2

时

I \approx \frac{1-0.6}{6}[\frac{1}{1+0.6^2}+4\frac{1}{1+0.8^2}+\frac{1}{1+1^2}]=0.2449546

n=4

时

I \approx \frac{1-0.6}{90}[7\frac{1}{1+0.6^2}+32\frac{1}{1+0.7^2}+12\frac{1}{1+0.8^2}+32\frac{1}{1+0.9^2}+7\frac{1}{1+1^2}]=0.2449787

精确值为

\int_{0.6}^1 \frac{1}{1+x^2} dx =arctan(1)-arctan(0.6)=0.24497866

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