数据运营系列（一）：生存分析与用户行为如何联系起来

1. 生存分析

生存分析主要用于医学研究，比如医疗方案对病人寿命的影响。后面用来探究所感兴趣的事件的发生的时间的统计方法。比如产品的寿命分析、工程中的失败时间分析等等。这里病人死亡、产品淘汰和工程失败等称为事件event。生存分析中有两个重要的概念，一是生存函数，二是风险函数。

生存函数的形式如下，表示为事件未发生的样本比例随时间变化的趋势，比如存活病人样本比例、可正常使用产品比例随时间的变化趋势等。

风险函数的形式如下，表示为事件发生概率的变化率。

两个函数之间的关系如下。

2. 用户行为

用户行为分析，特别是Customer Lifetime Value，对用户运营和用户增长工作尤为重要。了解用户在特定时间的行为程度更能帮助运营人员开展运营活动，提高用户价值。而常用的AB testing方法无法进行跨产品平台的定量分析，回归模型无法动态测量用户随时间变化的行为程度概率。因此借助生存分析可以进行用户留存、用户点击、用户购买等行为随时间变化的趋势。

比如以用户购买行为为例，一般的运营数据，直接进行用户分层查看其转化率，但是这样的数据无法知道用户的动态行为，比如在哪个时间点用户转化率会发生突变，产品的转化率会稳定在多少。生存分析以一个用户的单位，以用户注册时间为实验开始，数据采集截止时间（右删失）或用户转化时间为实验终止，用户最后是否发生购买行为为事件。

（1）数据集说明：

• user_id：用户id
• signup_time：注册时间
• end_time：事件截止时间(购买时间，当购买时间为空时，以数据采集截止时间填充)
• sex：性别
• age：年龄
• event：事件标志（用户有购买行为该值为1，否则为0）
• duration：时间段（截止时间减去注册时间）

（2）转化率随时间变化趋势：

通过Kaplan-Meier无参估计方法绘制出生存估计量曲线发现，在50天前后转化率基本稳定在40%。即在注册后的50天内，这一批实验用户中大概有40%的用户有购买行为。再次减小时间间隔发现用户转化率在第10天基本无变化，因此运营需要在这个时间点开展运营或营销活动，促进用户转化。

图1 未转化率随时间的变化趋势

（3）转化率随时间变化的变化速率：

这里的生存分析是将转化率作为事件的发生标记，那么生存函数就描述了未转化率随时间的变化情况，所以转化率的变化率应该是风险率函数hazard rate function，即h(t)。这里用Nelson-Aalen无参估计方法绘制累积风险估计量曲线。可以发现转化率在前5天缓慢增大，但其后迅速减小。因此运营需要在用户注册后5天内采取措施提高用户满意度，促进转化，否则用户后期的购买意愿会减小。

图2 累积风险率随时间的变化趋势

（4）生存回归分析：

当需要了解一些例如性别、年龄等协变量是否影响生存时间时，可以用COX-PH回归分析变量的显著性，并且还可以根据回归模型预测用户是否会发生转化。通过建模结果发现年龄和性别均显著影响生存时间。结果中的coef就是公式中的回归系数，因此exp(coef)则是Cox模型中最主要的概念风险比（HR-hazard ratio）：

• HR = 1: No effect
• HR < 1: Reduction in the hazard
• HR > 1: Increase in Hazard

z值代表Wald统计量，其值等于回归系数coef除以其标准误se(coef)，即z = coef/se(coef)；有统计量必有其对应的假设检验的显著性P值，其说明coef是否与0有统计学意义上的显著差别。以性别变量举例，coef值小于0说明HR值小于1，而这里的Cox模型是group 1相对于group 0而言的，那么按照测试数据集来说：male=1，female=0，即男性的转化风险相比女性要低。exp(coef)等于0.9916，即风险比例等于0.9916，说明女性（female=0）增加了0.9916倍转化风险，将回归数据按性别分类指标进行分层发现，性别为女性的用户会更早做出购买行为。

n=10000, number of events=7683

              coef  exp(coef)  se(coef)       z      p  lower 0.95  upper 0.95     
birth_year -0.0084     0.9916    0.0010 -8.7945 0.0000     -0.0103     -0.0066  ***
sex        -0.1676     0.8457    0.0241 -6.9492 0.0000     -0.2149     -0.1203  ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
Concordance = 0.528
Likelihood ratio test = 124.891 on 2 df, p=0.00000

图3 生存函数在性别上的差异

3. 学习资料

书籍推荐：John博士的 《survival analysis techniques for censored and truncated data》2E。该书可配合下面的视频一起使用，该书把入门的基本原理讲解得很透彻，并且有很多简单的例子帮助理解模型和推导。推荐只是使用生存分析做用户分析，看完前8章内容即可。

视频资料：饺子博士(B站)

第一章 生存函数、风险函数

https://www.bilibili.com/video/BV1WE411P78Z

第二章 删失数据

https://www.bilibili.com/video/BV1WE411N7dd

其余章节待更新。。。

第五章 Cox回归

https://www.bilibili.com/video/BV1N741117G3

个人笔记：糖甜甜甜(知乎)

https://app.yinxiang.com/fx/34f33a79-999a-4dc6-b104-490bc9671838

4. 附件

Kaplan-Meier估计生存估计量原理：

Nelson Aalen估计累积风险率估计量原理：

COX-PH回归：

Cox模型的基本假设为：

在任意一个时间点，两组人群发生时间的风险比例是恒定的；或者说其危险曲线应该是成比例而且是不能交叉的；也就是如果一个体在某个时间点的死亡风险是另外一个体的两倍，那么在其他任意时间点的死亡风险也同样是2倍。

Cox模型与Kaplan-Meier法比较：

• Kaplan-Meier法是非参数法，而Cox模型是半参数法，一般来说在符合一定条件下，后者的检验效应要大于前者。
• Kaplan-Meier法一般处理单因素对研究生存结局的影响，而Cox模型可以同时处理多个因素对生存结局的影响。

Cox model的形式：h0(t)和βk都是待估参数，Zk为协变量。

代码参考来源：

https://github.com/threecifanggen/lambda-and-tau/blob/master/%E7%94%9F%E5%AD%98%E5%88%86%E6%9E%90-%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E4%BE%8B/survival_function_for_user_conversion.ipynb