常见概率分布

用户3577892

发布于 2020-06-10 17:23:40

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离散分布

退化分布

若r.v. 只取常数值c，即 ,这时分布函数为：

把这种分布称为退化分布或者单点分布。

伯努利分布

在一次实验中，事件A出现的概率为 ,不出现的概率为 ,若用记事件A出现的次数，则仅取值0或1，相应的概率分布为

这个分布称为伯努利分布，也叫两点分布。

from IPython.core.pylabtools import figsize
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from matplotlib import pyplot as plt
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
%matplotlib inline

X = np.arange(0, 2,1)
p = 0.2 
pList = stats.bernoulli.pmf(X, p)
plt.plot(X, pList, marker='o',linestyle='None')
plt.vlines(X, 0, pList)
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel('$P(X = k)$')
plt.title('$P=%.2f$' % p)
plt.show()

二项分布

N：实验次数或潜在事件发生数的一个正整数
P：在一次实验中一种事件发生的概率

figsize(12.5, 4)
binomial = stats.binom
parameters = [(10, .4), (10, .9)]

for i in range(2):
    N, p = parameters[i]
    _x = np.arange(N + 1)
    plt.bar(_x - 0.5, binomial.pmf(_x, N, p),alpha=0.6,
            label="$N$: {}, $p$: {:.1f}" .format(N, p),
            linewidth=3)

plt.legend(loc="upper left")
plt.xlim(0, 10.5)
plt.xlabel("$k$")
plt.ylabel("$P(X = k)$")

Text(0, 0.5, '$P(X = k)$')

超几何分布

对某批N 件产品进行不放回抽样检查,若这批产品中有M件次品，现从整批产品中随机抽出 n件产品，则在这n件产品中出现的次品数x是随机变量，它取值0，1, 2，.. n，其概率分布为超几何分布.

# 超几何分布 hypergeometric(ngood, nbad, nsample, size=None) 好的总数、坏的总数、每次采样数、试验次数

s = np.random.hypergeometric(10,20,5,size=1000000)
p = sum(s>=4)/1000000.
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
a1 = fig.add_subplot(2,2,1)
a1.hist(s ,bins=20,color='b',alpha=0.3)
plt.show()

Poisson分布

若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）。

平稳性:在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关.
无后效性:在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.
普通性:如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计.
λ为任意正数,被称为Poisson分布的强度。λ越大，得到大值的概率越大；λ越小，得到小值的概率越大。
k为任意非负整数，即k必须为0、1、2之类的值。

Poisson分布的重要性质是：它的期望值和方差值都等于它的参数

figsize(12.5, 4)

lams = [1,5,10]
for i in lams:
    plt.scatter(np.arange(20),stats.poisson.pmf(np.arange(20), mu=i),s=100,label='lam={}'.format(i))
    plt.plot(np.arange(20),stats.poisson.pmf(np.arange(20), mu=i))

plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x277b1ad2f28>

几何分布

在事件A发生的概率为p的伯努利试验中，若以η记A首次出现时的试验次数，则η为随机变量，它可能取的值为1，2，3，…其概率分布为几何分布:

k = 5  
p = 0.6
X = np.arange(1, k+1,1)
pList = stats.geom.pmf(X,p)
plt.vlines(X, 0, pList,colors='r')
plt.xlabel('$k$')
plt.ylabel('$p\{X=k\}$')
plt.title('p=%.2f' % p)
plt.show()

帕斯卡分布

在伯努利试验中，若以ζ记第r次成功出现时的试验次数，则ζ是随机变量，取值r，r+l, .其概率分布为帕斯卡分布: ζ

负二项分布

对巴斯卡分布，可以略加推广，即去掉r是正整数的限制，这便得到负二项分布 对于任意实数r>0，称

为负二项分布。

可证

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
n, p = 0.4, 0.4
mean, var, skew, kurt = stats.nbinom.stats(n, p, moments='mvsk')
x = np.arange(stats.nbinom.ppf(0.01, n, p),
              stats.nbinom.ppf(0.99, n, p))
ax.plot(x, stats.nbinom.pmf(x, n, p), 'bo', ms=8, label='nbinom pmf')
ax.vlines(x, 0, stats.nbinom.pmf(x, n, p), colors='b', lw=5, alpha=0.5)
rv = stats.nbinom(n, p)
ax.vlines(x, 0, rv.pmf(x), colors='k', linestyles='-', lw=1,
        label='frozen pmf')
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()

连续分布

均匀分布

若a,b为有限数，由下列密度函数定义的分布称为[a, b].上均匀分布:

或

plt.plot(np.linspace(-4,4,100),stats.uniform.pdf(np.linspace(-4,4,100)))
plt.fill_between(np.linspace(-4,4,100),stats.uniform.pdf(np.linspace(-4,4,100)),alpha=0.15)
plt.plot(np.linspace(-4,4,100),stats.uniform.cdf(np.linspace(-4,4,100)))
plt.text(x=-1.5,y=0.7,s="pdf(uniform)",rotation=65,alpha=0.75,weight="bold",color="b")
plt.text(x=-0.4,y=0.5,s="cdf",rotation=55,alpha=0.75,weight="bold",color="r")

Text(-0.4, 0.5, 'cdf')

正态分布

一个正态分布用X～N(μ,1/τ)表示，它带有两个参数：均值μ和精准度τ。这里用1/τ代替了σ2,主要是因为这样能简化数据分析。记住：τ越小，分布越宽（即我们越不能确定）；τ越大，分布越窄（即我们越能确定）。不管怎么样，τ永远为正数。

一个服从N(μ,1/τ)的随机变量的概率密度函数如下：

# 展示正态分布的不同密度函数
figsize(12.5, 4)

nor = stats.norm
x = np.linspace(-8, 7, 150)
mu = (-2, 0, 3)
tau = (.7, 1, 2.8)

parameters = zip(mu, tau)

for _mu, _tau in parameters:
    plt.plot(x, nor.pdf(x, _mu, scale=1./_tau),
             label="$\mu = {},\;\\tau = {:.1f}$".format(_mu, _tau))
    plt.fill_between(x, nor.pdf(x, _mu, scale=1./_tau),alpha=.33)

plt.legend(loc="upper right")

<matplotlib.legend.Legend at 0x277b3db7748>

指数分布

指数可以取任意非负值，包括非整数

对指定的参数λ，指数型随机变量的期望值为λ的逆

a = np.linspace(0, 4, 100)
expo = stats.expon
lambda_ = [0.2,0.5, 1]

for l in lambda_:
    plt.plot(a, expo.pdf(a, scale=1./l), lw=3, label="$\lambda = {:.1f}$".format(l))
    plt.fill_between(a, expo.pdf(a, scale=1./l),alpha=.33)

plt.legend()
plt.ylabel("PDF at $z$")
plt.xlabel("$z$")
plt.ylim(0,1.2)

(0.0, 1.2)

gamma = stats.gamma

fig, ax = plt.subplots(1, 1)
a = 1.99
mean, var, skew, kurt = gamma.stats(a, moments='mvsk')
x = np.linspace(gamma.ppf(0.01, a),
                gamma.ppf(0.99, a), 100)
ax.plot(x, gamma.pdf(x, a),
       'r-', lw=5, alpha=0.6, label='gamma pdf')
rv = gamma(a)
ax.plot(x, rv.pdf(x), 'k-', lw=2, label='frozen pdf')
r = gamma.rvs(a, size=1000)
ax.hist(r, density=True, histtype='stepfilled', alpha=0.2)
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()

Gamma分布

指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”，伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”。所以，伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总。

figsize(12.5, 5)
parameters = [(1, 0.5), (9, 2), (3, 0.5), (7, 0.5)]
x = np.linspace(0.001 ,20, 150)
for alpha, beta in parameters:
    y = gamma.pdf(x, alpha, scale=1./beta)
    lines = plt.plot(x, y, label = "({:.1f},{:.1f})".format(alpha,beta), lw = 3)
    plt.fill_between(x, 0, y, alpha = 0.2, color = lines[0].get_color())
    plt.autoscale(tight=True)

plt.legend(title=r"$\alpha, \beta$ - parameters")

<matplotlib.legend.Legend at 0x277b3c247b8>

Beta分布

Beta分布的密度函数为：

figsize(12.5, 4)

datas = np.linspace(0, 1, 200)
plt.fill_between(datas,stats.beta.pdf(datas, a=5, b=10),hatch="+")
plt.fill_between(datas,stats.beta.pdf(datas, a=100, b=20),hatch="//")
plt.fill_between(datas,stats.beta.pdf(datas, a=20, b=60),hatch="*")

<matplotlib.collections.PolyCollection at 0x277b4184710>

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原始发表：2020-05-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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