【GAMES101-现代计算机图形学课程笔记】Lecture 02 Review of Linear Algebra

marsggbo

发布于 2020-06-12 10:09:19

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1. Vector （向量 / 矢量）

1.1 基础回顾

向量表示方式为

\vec{a}

或者

\boldsymbol{a}

向量长度

\|\vec{a}\|

单位向量表示方式为：

\hat{a}=\vec{a} /\|\vec{a}\|

向量表示采用笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)，例如

\mathbf{A}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{T}=(x, y) \quad\|\mathbf{A}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}

注意，一般默认向量为列向量。

1.2 向量相乘

1.2.1 点乘

定义：

\vec{a} \cdot \vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\| \cos \theta

\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}

性质

\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}

\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}

(k \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(k \vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b})

计算示例

\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l}x_{a} \\ y_{a}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b}\end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}

用途

1） 计算投影

2）判断两个向量是否同向

点乘结果>0就表示基本同向，=1表示方向完全一致。

1.2.2 叉乘

定义

a \times b=-b \times a

\|a \times b\|=\|a\|\|b\| \sin \phi

使用右手法则。

叉乘不满足交换律。

用途

1）生成坐标轴

\vec{x} \times \vec{y}=+\vec{z}

\vec{y} \times \vec{x}=-\vec{z}

\vec{y} \times \vec{z}=+\vec{x}

\vec{z} \times \vec{y}=-\vec{x}

\vec{z} \times \vec{x}=+\vec{y}

\vec{x} \times \vec{z}=-\vec{y}

2）判定左 / 右或者内 / 外

比如一直坐标系由XYZ组成，然后现在想判断向量b是在a的左边还是右边，之需要求出

\vec{x} \times \vec{y}

可以知道与

\vec{z}

同向，所以b在a左边。

\vec{AP}

始终在三条有向边

\vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}

的同一侧(左侧)，所以p点在三角形内侧。

注意：三角形三条边的向量必须首尾相连，所以如果我们把下面三角形的三条边向量换一个方向，但是因为最后可以算出AP都在三条边的右侧，即同一侧，所以P点在三角形内侧。

2. Matrix (矩阵)

矩阵在图形学里常用于表示变换(Transformations),比如 translation,rotation,shear,scale等。

矩阵相乘运算

\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}9 & ? & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & ?\end{array}\right)

以右边那个8为例，可以看到它是第三行第一列，所以直接找到左边矩阵的第三行，即

[0\,\,4]

，和右边矩阵第一列

[3\,\,2]^T

,然后做点积即可求得为8.

性质

(\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})

A(B+C)=A B+A C

(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{C}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}

矩阵转置：

(A B)^{T}=B^{T} A^{T}

对角矩阵：只有对角线上有非零元素
单位矩阵：对角线上全为1的对角矩阵
矩阵的逆：
A A^{-1}=A^{-1} A=I
(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}

矩阵乘法转化成矩阵形式

注意： A*b的*不表示乘法

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