本节内容摘要
真实世界中的物体之间相对于相机是有远近关系的,那么在2D平面上如何反应物体的先后关系呢?一个常用的方法是Painter's Algorithm (画家算法),即先画远处的物体,然后把近处的物体画在远处物体的前面,如下图所示。
画家算法需要根据距离远近对不同物体进行排序,例如用快排的话,时间复杂度是
。这里的排序是植物体之间的远近关系比较好判断的情况,如果是下面这种情况,你说那个三角形在最前面呢?
所以一种常用的解决可见性问题的算法是Z-Buffer。
Z-Buffer的想法是不再对物体做远近排序,而是对每个像素做排序。
简单来说就是2D屏幕上的每个像素都记录两个缓存值,即最前面那张图的左下角为例(即地面):
之前的内容,我们始终假设相机位于原点,且朝着Z轴负方向,所以离相机越近,Z轴坐标绝对值越小,反之越大。这里为了方便起见(仅讨论深度问题),所以假设Z值永远是正数,即Z越小,表示越近;反之越远。
下图给出了Z-Buffer的例子。可以看到离我们(相机)越近则表Z值越小,所以对应到右边的深度图,颜色也就越深。(0为黑色)
Z-Buffer算法伪代码示例如下:
Initialize depth buffer to ∞
During rasterization:
for (each triangle T)
for (each sample (x,y,z) in T)
if (z < zbuffer[x,y]) // closest sample so far
framebuffer[x,y] = rgb; // update color
zbuffer[x,y] = z; // update depth
else
; // do nothing, this sample is occluded
有一个问题需要注意,就是由于在计算机里,深度值一般都是由浮点数表示的,所以理论上来说3D物体的深度值是不会相等的 。但是当对深度值做近似处理的时候,比如取整,这个时候两个像素的深度值就一样了,那这个时候颜色信息选哪个像素点的呢?这是个好问题,不过闫老师说这个在后面的内容再介绍~
Z-Buffer的复杂度是
,注意这里只是找到最小值即可,所以只需遍历所有像素点。而前面提到的画家算法需要对不同物体做排序,所以即使用快排也得是
。
在介绍着色方法之前,先回顾一下前面学的内容。
如下图示(顺序:从左到右,从上到下)
上面介绍了如何解决可见性(遮挡)问题,比如用Z-Buffer确定了每个像素点的深度和颜色信息,但是是不是单纯把颜色复制到每个像素上就完事了呢?我们先看一下下面两个图片:可以看到右图明显要真实一些,而左图就emm。。。所以为了让图片更真实,下一步我们还需要给物体着色
在真正开始介绍着色方法之前,先看看shading的定义:
Shading:The darkening or coloring of an illustration or diagram with parallel lines or a block of color.
The process of applying a material (材质) to an object.
注意shading(着色)≠shadow(阴影) 。
Blinn-Phong Reflectance Model (BPRM) 是一个比较简单的着色模型。 Blinn和Phong是两个人的名字。
下图给出了一个示例:
可以看到光源应该在右上角,图片有如下几个特点:
为方便理解,我们现在来看看一个局部点的着色问题(非常小的一个局部可以近似成直线)。可以看到定义了如下几个东西:
。注意起点也是着色点,而不是光源,这是一种约定俗成的规定,也是对编程模型的预约定,这样可以不引入光源数据结构,只从着色点出发做处理,这样会简便很多。
(上面定义的向量都为单位向量)
下图给出了着色的一个示例图,可以看到物体的明暗都画出来了,但是因为前面提到的,光的方向被定义成从着色点到光源,所以一些应该有阴影的区域没有被画出来,所以我们需要把着色和阴影区分开来。
漫反射理论上是指光达到某一点后朝着四面八方均匀的反射出去,如下图示。
另外我们如何判断物体表面光的亮度呢?看下面的图(Lamber's cosine law)。
首先为了方便理解,我们假设光是离散分布的,比如左图,对于平放的物体,一共有6条光线打在上面。而我们把物体旋转之后(中间),此时该表面只接受了三条光线,所以该物体表面肯定要暗一些。仔细观察可以知道,物体表面的亮度应该与一个夹脚有关系,即法线
和光线
夹角。有
我们也可以从另一个角度来理解下图:假设下左图表面是一个边长为1的正方形,那么此时由于光线垂直该表面,所以单位面积接收到的能量是最多的,而旋转一定角度后,很显然单位面积接收到的光线能量就变小了,所以对应地,旋转后的表面的亮度就会暗一些。
下面介绍了光衰减的原理。中心点是光源,我们假设光在传播过程中能量没有损失,也就是说以该光源为球心的整个球面都是一样的。什么意思呢?
我们假设半径为
的球面的能量是
。由于我们假设光在传播过程总能量没有损失,所以
无论取什么值,其所对应的球面的能量都为
,这个应该很好理解。
我们再具体分析某一个点,我们假设半径为1的球面上的某一个点的能量是
,那么就由
。同理,对于半径为
的球面上的某一个点,该点的能量应为
。由此我们可以知道,所有球面的能量虽然是相等的,但是每个点的能量确实不同的,具体来说是衰减的,这也叫做light falloff
结合前面提到的Lamber's cosine law和light falloff,我们可以知道每个着色点的光亮程度计算公式如下:
指漫反射系数(diffuse coefficient),也叫Diffusivity,代表了颜色信息。什么意思呢?我们知道物体之所以有颜色,是因为它吸收了部分光,反射了剩余的光。比如黑色就是把所有光的吸收了,没有光被反射,因此是黑色。又比光照在橘子上,橘子吸收了除橙色以外的光,因此最后橙色的光反射到人眼,所以橘子看起来就是橙色的了。很显然,吸收的光越多,那么能量就越大,不同能量也就对应了不同颜色的光,所以说这个系数也可以指代颜色。具体来说,如果
是一个标量,那就应该表示明暗(黑白)程度,如果是一个三通道的向量,那么就可以表示具体的颜色了。 从微观角度看,再平直的表面都存在凹凸不平,因此就存在光向四周漫射的现象。向四周漫射的光通量与总的反射光通量之比称为:漫射系数或漫反射系数。这个与物体材质有关。
:为什么这里要取最大值呢?因为前面提到了,单位面积接受到光的能量与 法向和光线夹角有关,而我们一般认为,如果夹角的绝对值大于90°时没有意义,就好像下图的光线是从下方打过来的,此时该着色点被其他的点遮住了,故认为该点能量强度为0.
再仔细分析上面的公式可以知道,物体表面的颜色或者明暗程度与观测点(相机)的位置无关,即与
无关,这与现实世界也是相符合的。比如你看月亮,它的表面亮度不会随着你的移动而发生改变,相反它只与太阳光的方向以及法线方向有关。
下图给出了光源处在不同位置时观测到的球面明暗程度的变化。以最右边那个为例,可以知道光源应该是左上方,照射到球面后,左上角球面的法向和光线方向夹角很小,所以看起来明亮一些;而随着夹角
达到90°,甚至超过90°后,基本上就变成黑色了,这个通过上面的公式也可以很清楚的看到。
MARSGGBO♥原创 如有意合作或学术讨论欢迎私戳联系~ 邮箱:marsggbo@foxmail.com 2020-04-27 21:36:02