算法系列之快速幂

算法系列之快速幂

今天常规，分享一个套路模板，快速求解快速幂问题。

题目：

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

输入格式
三个整数 a,b,p ,在同一行用空格隔开。

输出格式
输出一个整数，表示a^b mod p的值。

数据范围
0≤a,b,p≤10^9
数据保证 p≠0
输入样例：
3 2 7
输出样例：
2

数据范围位10^9，C++ 的O(n)级别算法支持10^7-10^8之间，所以需要比O(n)运算还快的logn算法。本题考察：快速幂。

实现方式分为递归与非递归。

思想

例如：5^10 = 5^2*5^8。

• 方式1：一般计算5^10=5*5*5...*5，总共9次计算。
• 方式2：可以计算5^5再平方，5^5=5*5*5*5*5，总共5次计算。
• 方式3：可以将5^5再拆分为5*5^4,5^4继续拆分为5^2*5^2，5^2拆分为5*5，总共4次计算。方式3的模拟过程，便是一个O(logn)的算法，也就是快速幂。

递归法

上述方式3很快想到递归法解决。折半为奇，则a*f(a,b-1)，为偶，则先保留一半的结果：f(a,b/2)，再平方。

递归出口：幂为0，也就是b为0，此时直接返回1即可。

本题是对一个p进行前模，两个数相乘容易溢出，我们转long long类型，比较简单写法直接在第一个乘数后面乘上1ll。

int pow(int a,int b,int p) {
    if(b==0) return 1%p;
    else if(b%2==1) {
        return pow(a,b-1,p)*1ll*a%p;
    } 
    int temp = pow(a,b/2,p);
    return temp*1ll*temp%p;
}

非递归法

我们把5的10次方写成，5^(1010)。上面1010为10的二进制表示。可以把它拆分为5^(1000) * 5^(10)， 我们知道5^(1000...00)是5^1*5^2*5^4.....。实现如下：

int pow(int a,int b,int p) {
    int res = 1 % p;
    while(b) {
        if(b&1) 
            res = res*1ll*a %p; // res*a容易溢出，1ll转为long long类型
        a = a * 1ll * a % p; // a^1 a^2... a^x
        b >>= 1;
    }
    return res;
}