费马猜想有哪些？为什么数学家们花了数百年时间去证明？
费马，可能很多朋友没听过这个名字，但费马大定理，在数学界的知名度很高，费马是一名数学爱好者（费马，1601~1665）。因为他还有一份正经工作，他的职业是一名律师。但就是这么一个律师，提出了很多猜想，让后来的数学家们花了很多时间去证明。因此他也被称为业余数学家之王，他在数学上的成就不低于职业数学家，而且似乎对数论最有兴趣，也对现代微积分的建立有所贡献。
费马这个人很有意思，他在看书时经常会有自己的猜想，并在书上写道：这些猜想我已经证明完了，只不过纸上空间太小就没写下来。后来这些笔记被他的儿子整理成书，但我们并不知道他到底是忽悠人还是真的都证明出来了，因为这些猜想让数学家们一证经常就是上百年，也有的证了300多年。
费马提出的比较知名的猜想有下面几个：
- 费马数
- 费马螺线
- 费马平方和定理
- 费马小定理
- 费马大定理
- 费马数
在1640年，费马提出了一个猜想，认为当n是非负数时，Fn都是素数。
这个表达式的数据被后人称为费马数。
我们来看几个例子： 当n=0时，
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
当n=4时，
以上的5个例子都是素数，因此费马就断定都是素数。
那这个猜想到底对不对呢？很多数学家就开始证，直到1732年伟大的数学家欧拉否定了这一猜想，怎么否定的呢？因为当n=5时，有
那有同学就会问了，就这么简单的一个问题，怎么会忽悠了数学家这么多年，因为质数分解这个问题一直都很难解决，直到今天也没有一个很好的方法。
事实上，n=5~11时，结果都不是质数
到2018年为止，也只验证到了n=11的情况，从12之后是否是质数，仍然没有结论。
- 费马螺线
费马螺线是抛物螺线的一种，这并不是一个猜想，它的的公式比较简单：
我们可以用Python把它画出来。
- 费马平方和定理
这是费马在1640年提出的，内容为：奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1。
比如：
13 % 4 = 1 2^2 + 3^2 = 13
29 % 4 = 1 2^2 + 5^2 = 29
这个猜想在1747年，也就是猜想提出来的137年后，被伟大的数学家欧拉证明是成立的。
- 费马小定理
这个猜想是费马在1636年提出，假如a是一个整数，p是一个质数，那么a^p-a是p的倍数。
这个猜想也同样是被欧拉在1736年证明的，但后人在整理莱布尼茨的未发表的手稿时，发现他早在1683年用了几乎相同的方式证明了这个猜想。
可以看到，上面4个猜想，要么被证明是错的，要么在18世纪已经被证明了。因此知名度都没有费马大定理高。
- 费马大定理
它的内容为：
当整数n>2时，关于x,y,z的不定方程
没有正整数解。
这个定理在数学届的地位很高，高到什么程度呢？基本上所有有名气的数学家都试图证明， 其中欧拉在1770年，也就是这个猜想提出来130年后，证明了n=3时定理成立；又过了55年， 高斯和热尔曼同时独立证明了费马大定理5次幂的成立。但对于一般情况，还是没有结论。在这期间有一些数学家宣布证明了这个定理，但最终都发现证明过程有问题。直到1995年 英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）及其学生理查·泰勒（Richard Taylor）用了整整7年的时间，将其彻底证明，并得到世界公认，这个证明过程写了两篇论文，总共130页。这才被叫做费马大定理。
这个里面有一段插曲，就是在1908年时，德国人沃尔夫斯凯尔宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，10万马克在当时算是巨款了，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
那为什么他要设立这个奖金呢？有三个故事，第一个故事比较浪漫，讲的是他被一个女士抛弃，想要自杀，但突然看到了一篇论文中的一个错误，这个论文就是在证明费马大定理的缺陷。这又重新燃起了他活下去的希望，因此设立奖金；第二个故事则比较平淡无奇，讲的是他的妻子太精明，他不想去世后妻子留下太多遗产，就通过设立奖项的名义把资产捐了出去；第三个故事跟第一个比较像，都是讲他想要自杀，但自杀前他在图书馆里看到了这个定理,看看这些个大佬，自杀前还要去上自习，他觉得数学比女人更有价值，所以不再想自杀。
但令他没想到的是，在一战之后，马克大幅贬值，这个奖金的吸引力也大幅下降，在1995年定理被证明后，这个奖金已经下降到了3万英镑。但这时候，奖金已经不重要了，因为这个证明，让安德鲁·怀尔斯获得了包括邵逸夫奖在内的数十个奖项，也让他名垂青史。