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Wolfram|Alpha自然语言帮你做计算系列 (02):数列、一元、多元函数极限的计算与连续性判定

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WolframChina
发布2020-07-03 17:26:19
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发布2020-07-03 17:26:19
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文章被收录于专栏:WOLFRAMWOLFRAM

极限的计算与函数连续性的讨论是高等数学、数学分析、微积分课程中讨论的重点,一直贯穿于整个课程学习过程。本文内容主要以实例的形式介绍用WolframAlpha计算数列、一元函数、多元函数的极限、判定极限的存在性和讨论函数的连续性. 其中一元函数包括左右极限的讨论和抽象符号函数极限的计算。

  • 工具:Wolfram|Alpha 计算知识引擎
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1、求数列的极限

例1 计算以下数列的极限:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{{{(2\root n \of n - 1)}^n}} \over {{n^2}}}.

输入表达式为

lim ((2n^(1/n)-1)^n)/(n^2), n->infinity

执行后的结果为1. 也可以将lim换成limit. 其中无穷大infinity也可以用两个字母“oo”表示.

例2 计算以下数列的极限:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n \over {\root n \of {n!} }}.

输入表达式为

lim n/((n!)^(1/n)), n->infinity

执行后的结果为e.

例3 计算以下数列的极限:

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = {n^2}}^{{{(n + 1)}^2}} {{1 \over {\sqrt k }}} .

输入表达式为

lim sum(1/(k^(1/2)),k=n^2 to (n+1)^2),n->infinity

执行后的结果为2. 前面也可以加上lim或limit来执行计算.

例4 计算以下数列的极限:

\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to \infty } \left( {1 - {1 \over {{2^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{3^2}}}} \right) \cdots \left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right).

输入表达式为

product 1-1/k^2,k=2 to n,n->Infinity

执行后的结果为1/2.

2、一元函数的极限和连续性

例1 计算以下函数的极限:

\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{ - x}}{\left( {{\bf{1}} + {{\bf{1}} \over x}} \right)^{{x^{\bf{2}}}}}

输入表达式为

lim (e^(-x))*(1+1/x)^(x^2), x->infinity
lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->0-

得如下结果

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->-1+

计算得到结果如下.

lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->1

显示极限存在,但是在图形中用小红空间圆圈标记为可去间断点. 如下图所示.

而输入

lim e^(1/(1-x)), x->1

则计算结果如下

标明极限不存在,但是有左极限为正无穷大,右极限为0.

例3 计算以下极限:

\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{f\left( {x + h} \right) - 2f\left( x \right) + f\left( {x - h} \right)} \over {{h^2}}}.

输入表达式为

lim (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2,h->0

3、多元函数的极限

例1 计算以下函数的极限:

\mathop {\lim }\limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {1,0} \right)} {{\ln (x + {{\rm{e}}^y})} \over {\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.

输入表达式为

lim log(x+e^y)/((x^2+y^2)^(1/2)), (x,y)->(1,0)

执行后的结果为ln2.

例2 计算以下函数的极限:

\mathop {\lim }\limits_{(x,y) \to (0,0)} {{x + y} \over {x - y}}

输入表达式为

lim (x+y)/(x-y),(x,y)->(0,0)

lim (x+k x)/(x-k x),x->0

计算得到结果为

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x + kx} \over {x - kx}} = {{1 + k} \over {1 - k}}
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  • 1、求数列的极限
  • 2、一元函数的极限和连续性
  • 3、多元函数的极限
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