专栏首页代码编写世界空间直线与球面相交算法

空间直线与球面相交算法

目录

  • 1. 原理推导
    • 1.1. 直线公式
    • 1.2. 求交
  • 2. 具体实现
  • 3. 参考

1. 原理推导

1.1. 直线公式

在严格的数学定义中,直线是无线延长,没有端点的线;射线是一端有端点,另外一段没有端点无线延长的线。但在具体的计算机几何实现中,不可能去找到这种无线延长,没有端点的线,所以这里直线的定义更加近于线段,如果线段选的够长,那么这个线段就可以认为是直线或者射线。

空间直线的数学定义是,已知直线L上一点\(M_0(x_0,y_0,c_0)\),以及直线L的方向向量\(s(m,n,p)\),那么空间直线L的方程为:

\[\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} \]

以上是空间直线的标准式方程(点向式方程)。令上面式子的比值为\(t\),那么直线的参数式方程为:

\[\begin{cases} x = x_0 + m * t\\ y = y_0 + n * t\\ z = z_0 + p * t\\ \end{cases} \]

这两个方程是无法直接在实际情况中使用的,毕竟很多时候都是直接给出经过直线的两个点。我在《已知线段上某点与起点的距离,求该点的坐标》这篇博文中论述过:

对于知道线段的起点\(O\)和终点\(E\),显然方向向量为\(D=E−O\)。这时,根据射线的向量方程,线段上某一点P为

\[P=O+tD \]

很明显,直线的参数式方程与上篇博文中描述的其实是一个意思,起点\(O\)就是\(M_0(x_0,y_0,c_0)\),方向向量\(D\)就是\(s(m,n,p)\):

\[\begin{cases} x = O_x + D_x * t\\ y = O_y + D_y * t\\ z = O_z + D_z * t\\ \end{cases} \tag {1} \]

并且,采取这种公式描述还有个好处,局势t的取值范围为0到1,否则就在直线的两个端点之外,也就很有可能不是你需要的点。

1.2. 求交

根据数学定义,已知球心坐标\(C(C_x, C_y, C_z)\)与球的半径R,球面的公式为:

\[(X-C_x)^2 + (Y-C_y)^2 + (Z-C_z)^2 = R^2 \tag{2} \]

联立(1)(2)两式,最终会得到一个关于t的一元二次方程:

\[(O_x + D_x * t-C_x)^2 + ( O_y + D_y * t-C_y)^2 + (O_z + D_z * t-C_z)^2 = R^2 \]

一元二次方程组的有无解,单个解,以及双解三种可能,这也符合空间直线与球面相交的直观认识,要么相切有一个交点,要么相交有两个交点,否则的话可能没有交点。

得到\(t\)后,将其带入到(1)式中,就得到想要的交点。不过注意t的范围一般是0到1,这是与直线给的起点位置与终点位置有关的。

推到这里就会发现原来全部都是高中数学知识,应该还做过题目来着。

2. 具体实现

具体的C++实现如下:

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;

const double EPSILON = 0.0000000001;

// 3D vector
struct Vector3d
{
public:
	Vector3d()
	{
	}

	~Vector3d()
	{
	}

	Vector3d(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量赋值
	void set(double dx, double dy, double dz)
	{
		x = dx;
		y = dy;
		z = dz;
	}

	// 矢量相加
	Vector3d operator + (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x + v.x, y + v.y, z + v.z);
	}

	// 矢量相减
	Vector3d operator - (const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(x - v.x, y - v.y, z - v.z);
	}

	//矢量数乘
	Vector3d Scalar(double c) const
	{
		return Vector3d(c*x, c*y, c*z);
	}

	// 矢量点积
	double Dot(const Vector3d& v) const
	{
		return x * v.x + y * v.y + z * v.z;
	}

	// 矢量叉积
	Vector3d Cross(const Vector3d& v) const
	{
		return Vector3d(y * v.z - z * v.y, z * v.x - x * v.z, x * v.y - y * v.x);
	}

	bool operator == (const Vector3d& v) const
	{
		if (abs(x - v.x) < EPSILON && abs(y - v.y) < EPSILON && abs(z - v.z) < EPSILON)
		{
			return true;
		}
		return false;
	}

	double x, y, z;
};

//求解一元二次方程组ax*x + b*x + c = 0
void SolvingQuadratics(double a, double b, double c, vector<double>& t)
{
	double delta = b * b - 4 * a * c;
	if (delta < 0)
	{
		return;
	}

	if (abs(delta) < EPSILON)
	{
		t.push_back(-b / (2 * a));
	}
	else
	{
		t.push_back((-b + sqrt(delta)) / (2 * a));
		t.push_back((-b - sqrt(delta)) / (2 * a));
	}
}

void LineIntersectSphere(Vector3d& O, Vector3d& E, Vector3d& Center, double R, vector<Vector3d>& points)
{
	Vector3d D = E - O;			//线段方向向量

	double a = (D.x * D.x) + (D.y * D.y) + (D.z * D.z);
	double b = (2 * D.x * (O.x - Center.x) + 2 * D.y * (O.y - Center.y) + 2 * D.z* (O.z - Center.z));
	double c = ((O.x - Center.x)*(O.x - Center.x) + (O.y - Center.y) * (O.y - Center.y) + (O.z - Center.z) * (O.z - Center.z)) - R * R;

	vector<double> t;
	SolvingQuadratics(a, b, c, t);

	for (auto it : t)
	{	
		if (it >= 0 && it <= 1)
		{
			points.push_back(O + D.Scalar(it));
		}		
	}
}

int main()
{
	Vector3d O(20, 30, 40);
	Vector3d E(20, 20, 20); 
	Vector3d Center(20, 20, 20);
	double R = 15;

	vector<Vector3d> points;
	LineIntersectSphere(O, E, Center, R, points);

	cout<<"该直线(线段)与球面有"<< points.size() <<"个交点"<<endl;
	for (auto it : points)
	{
		printf("%lf\t%lf\t%lf\n", it.x, it.y, it.z);
	}	
}

最终运行的结果:

再次注意,我这里是把线段当成直线判断的,如果希望判断整个直线与球面的交点,应该略去最后的关于\(t\)是否在0到1之间的判断,此时应该会有两个交点。

3. 参考

  1. 空间直线同球体交点求解

本文参与腾讯云自媒体分享计划,欢迎正在阅读的你也加入,一起分享。

我来说两句

0 条评论
登录 后参与评论

相关文章

  • 空间射线与三角形相交算法的两种实现

    任何复杂的三维模型都可以视作空间三角面片的集合,很容易碰到的一个问题就是空间射线与三角形相交的问题,例如拾取、遮蔽检测等。这里就总结下该问题的两种算法实现。

    charlee44
  • 判断点在多边形内算法的C++实现

    判断平面内点是否在多边形内有多种算法,其中射线法是其中比较好理解的一种,而且能够支持凹多边形的情况。该算法的思路很简单,就是从目标点出发引一条射线,看这条射线和...

    charlee44
  • harris角点检测的简要总结

    harris角点检测是一种特征提取的方法,而特征提取正是计算机视觉的一种重要手段。尽管它看起来很复杂,其实也是基于数学原理和简单的图像处理来实现的。 本文之前...

    charlee44
  • C编程常用数学函数集锦

    double sqrt(double x) 返回x的开方 double cos(double x) 返回x的余弦cos(x)值,x为弧度 double si...

    苦咖啡
  • java计算两个经纬度之间的距离

    前一阵项目中,有一个需求:是查找附近的人,其实就是查询某个距离内有多少用户。实现方式还是比较简单的,首先用户在APP上开启定位权限,将自己的经纬度都存储到数据库...

    一诺千金
  • Manytasking MATP MOOMFO 中G函数

    DrawSky
  • c++(三)

    函数在调用之前必须进行声明或者定义,函数的声明:返回值类型 函数名(参数类型 参数名称.......);其中参数名称可以省略;

    Dar_Alpha
  • 基础篇- iOS开发中常用的数学函数

    進无尽
  • 爬虫篇 | 学习Selenium并使用Selenium模拟登录知乎

    最近整理一个爬虫系列方面的文章,不管大家的基础如何,我从头开始整一个爬虫系列方面的文章,让大家循序渐进的学习爬虫,小白也没有学习障碍.

    叫我龙总
  • C++中的数学函数汇总

    math.h 数学函数库,一些数学计算的公式的具体实现是放在math.h里,具体有:

    于小勇

扫码关注云+社区

领取腾讯云代金券