一次刨根问底的收获——从一道微积分题说开去

几个月前的一天，公众号有个粉丝通过后台联系我，说是大一学生马上要期末考试了，有些高数问题能不能请教下。

要知道，我对数学和魔术相关需求，简直就像自己家里的事一样，那是来者不拒的。所以我就说，你发来看看。

说实话，解微积分少说也是8年前的事了，就算印象再深刻，也有可能忘了一些基本原理，不熟练以至于有答不上来的尴尬。所以我答应完了还有些紧张，心里想，这做不出来就丢人了。

没想到，在和他交流的过程中，就像在魔术里我看到一个作品后去一点点追溯我自己学习和感悟的历史一样，从他给我的题中，就像串了珠子的线一样，我也跟着这些线索找到了很多以前背过理解过的知识，定理。什么不定积分啦，分部积分法则啦，含参积分，洛必达法则等等。虽然今天买菜是用不上了，但是做得好不过瘾。虽然定理的名字和具体内容我丝毫想不起来，可是问题一到，再加一个百度就基本能查到怎么解决。

这更给我信心去坚信自己推崇的学习理念：原理的理解永远比表面知识的掌握更重要。有了原理你永远可以在任何时候拿着绳头一样重新把所有知识串出来，而知识机械记忆的话，任何一处断了，那就永远地断了，而且剩下留下的短绳还会在脑海里搅成一团浆糊。

谢谢这位同学给我回忆美好青春的机会。

到今天，我一边做着工程师，一边也没忘了自己想永远去探求逻辑，理论的本质，去不断追问为什么来维持着自己的深度思考能力，而不是熟练工。比如，近年学习的编译原理，文法规则，以及顺带学习了群论等结构方面的知识，发现无论是计算机的工作还是对以往知识的本质理解都有着令我惊喜的收获。

比如这次，这位同学问到的这么一个微积分求解问题，他给了解答给我，我把它转写成了详细到最细致的解题步骤：

公式里步骤6所用到的积分公式是题目的已知条件（当然没给的话作为本科生应该也要能记忆），这位同学的问题是，他觉得很奇怪，为什么能这么用这些公式，是怎么推导过来的？

然后我觉得更奇怪了。直接把1，- 1划掉，1 / 2拉出来，带入，完事了，一时间没有理解他是哪里没懂，或者只是粗心？

然而硬是把这些步骤拆解如上图以后，他才觉得完全理解。

这时候困惑的反而是我了。这么明显的推导过程，为什么有人难以理解，而有人是显然？一个人要掌握这些推导，到底需要哪些原理？即使你凭借经验和感觉会做了，可是原理真的懂了吗？或者更深入一点，如何教计算机来自动化求积分？

然后我又仔细看了一下这中间每一步的推导，发现还真不那么简单。那些我们眼里很随意的性质，定理的应用，并没有那么直观。同时，我们每天都用的用的类似加减乘除的计算所用到的原理，远比口诀表深刻。

不妨来看一下，我们需要怎样的知识储备，才能解决这么一个问题：

首先，解微积分问题的一个基本思路是，进行式子化简，进而在最后的表达式中套用常用积分公式来最后去掉积分符号。

好，什么是式子化简？如何套用常用积分公式？

首先是式子化简。直觉的视角似乎很容易，不就是看起来更简单吗？可是谁告诉你1 + 1比2就复杂了？

在多项式计算里，化简就是展开所有括号里含有加减法计算的乘法，直到式子里不再有括号为止。而因式分解恰好是其逆运算。当然有分式以及添加了积分式的会更复杂，不过实际上也是对组成他们的每个局部进行化简罢了，可以化归过来。

这里我们看一下以上步骤所用到的数学原理（对照公式里的标号）:

(1) 加法结合律：对于有多个项的加法，默认是从左到右计算，这是四则运算的计算法则，规定而已，也可以倒过来规定，你只是习惯了觉得理所应当，古人读书从右边读起也觉得理所应当。而结合律保证了这个加法的顺序下可以以任意顺序先加其中的相邻两个再不断结合完成计算的结果是一样的，但是物理意义是有区别的。就像你把两块泥巴是一块一块地粘在手里的大泥巴还是先揉在一起再粘，结果的重量是一样的，但是捏出来的泥人就不一样了。

(2) 加法交换率：有交换率的保证使得对于其数量加法的意义下的结果而言，顺序是无所谓的。比如用3点先加2h再加3h的结果和反过来加结果一样，但是你拿一个魔方来拧两个同样的动作换个顺序，结果可就不一样了。这种满足交换率的群我们叫作Abel群，这种结构可不是每个对象都满足的。

(3) 再次用到加法结合率，结合式子分母的前两个元素。

(4) 加法逆元的存在以及对应得到幺元：我们天然在多项式加法中定义了减法，它不是新的运算而是加法的逆运算，对应的元素是逆元，相互相加会得到幺元，可以直接扔掉。

以上，我们涉及了加法的诸多性质，还有一条基本的，加法是封闭的，加完以后不会变为空间外的元素。加上这里提到的交换率，逆元和幺元，我们就可以说，该空间在加法上构成一个群G = (S, +)，比如全体整数集合在四则运算加法上，多项式集合在加法上等等。

特别的，满足交换率的群，叫作Abel群，更难得。

可不是所有的代数结构都满足这些性质的，比如正则表达式里的字符串运算，就是个没有逆元的幺半群，如果不允许空字串那么就是纯的半群了。而仅仅是定义了一个有封闭性的加法的群，只能叫原群。

(5) 积分运算的线性性质：积分运算本质是无限分割后的加法，所以如加法所在的线性空间一样，像我们学过的向量空间一样，满足线性性质：f(ax + by) = af(x) + bf(y)，好像有人觉得把常数系数拉出来理所应当，可是如果这个函数是y = ax + b，b不为0，你拉出来溜溜？

(6) 等量代换：这里的套用，什么条件才可以？为什么可以直接把长得相同的部分直接换掉而保证等式成立？这源于等我们用的等号，他代表一种叫做等量的对称关系。而乘法，加法这些是在该关系下有着不变性的运算，换句话说，数量乘法对相等关系是封闭的！相等关系在数量乘法上构成一个原群！

我估计有些同学要崩溃了，这么简单的问题搞这么复杂做什么？我的直觉就能告诉我解决了，我就想知道怎么快点学会做题考试，搞这么复杂的理论做什么？

可是，这些题，在日后的工作生活中，一定不会碰到一模一样的。

可是，这里涉及的等效，化归，结构等思维方式却是可以一直存在和帮助我们的。

印象很深的是听一个同学说，法国的刚上小学的女孩虽然可能乘法表背不了，但是却知道我们平常的数值加法有交换率是个Abel群，而拧魔方却不是。

虽然不知道真假，但是如果能够把数学素质当成一种流行文化在一个民族里流传，那是真的又性感，又可怕。

这就是抽象代数里的数学抽象思维，最终也正是这些思维，把感觉，直觉量化为真实可行的目标，把大量的工作交给计算机去完成，我们人类的智慧只在于制造和用计算机以及做那些计算机做不了的事，其他的一概不需要。

可能几百年以后，不会抽象代数才会像现在不会加减乘除一样让人觉得可笑吧，反正现在的四则运算也是几千年前发明的数学。

那我们还是抓紧些学习和思考吧。