定积分的精确定义(重排版)

如图1所示，定积分

表示区域的面积R.

绝大多数情况下，R是不规则几何图形，为了方便计算，用矩形来逼近不规则的区域。这样就会产生误差。采用更多的矩形使得误差尽可能小，如图2所示。

如图3所示，若函数

在区间

上有定义，在

上任取

个分点

,设

,

且

记

, 并任取

.记

存在且与

的取值无关，则称函数

在区间

上可积，即

或者

（1）区间

长度可以是任意的，并不需要均匀划分，而

在子区间的取值也是任意的，可以在端点，也可以在区间内部。

（2）若函数

，曲边梯形在

轴下方，面积就是负的，即定积分的值是负的。

（3）当我们说到“

到

上的定积分”时，不要总认为

，事实上，

的情形也是可以的，只不过注意

时，

。而

时，

。

定积分的精确定义由德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)给出，故这种积分又称黎曼积分。