如图1所示,定积分
表示区域的面积R.
绝大多数情况下,R是不规则几何图形,为了方便计算,用矩形来逼近不规则的区域。这样就会产生误差。采用更多的矩形使得误差尽可能小,如图2所示。
如图3所示,若函数
在区间
上有定义,在
上任取
个分点
,设
,
且
记
, 并任取
.记
存在且与
的取值无关,则称函数
在区间
上可积,即
或者
(1)区间
长度可以是任意的,并不需要均匀划分,而
在子区间的取值也是任意的,可以在端点,也可以在区间内部。
(2)若函数
,曲边梯形在
轴下方,面积就是负的,即定积分的值是负的。
(3)当我们说到“
到
上的定积分”时,不要总认为
,事实上,
的情形也是可以的,只不过注意
时,
。而
时,
。
定积分的精确定义由德国数学家黎曼(Bernhard Riemann)给出,故这种积分又称黎曼积分。