斐波那契查找不再迷惑
裴波那契查找的来源
裴波那契数列是一串按照F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）这一条件递增的一串数字：
1、1、2、3、5、8、13、21 ... ...两个相邻项的比值会逐渐逼近0.618 —— 黄金分割比值。这个非常神奇的数列在物理，化学等各大领域上有相当的作用， 于是大家想： 能不能把它用在查找算法上嘞？？
于是就有了裴波那契查找算法， 裴波那契数列最重要的一个性质是每个数都等于前两个数之和（从第三个数字开始）。 也就是一个长度为f(n)的数组，它能被分成f(n-1)和f(n-2)这两半， 而f(n-1)又能被分为f(n-2)和f(n-3)这两半。。。直到分到1和1为止（f(1)和f(2)）。
（注意一个细节： 在分割时，可以选择将“大块”的f(n-1)放前面部分，也可以将“小块”的f(n-2)放前面，我下面的分割都是按照“大块”在前进行的）
这里我们发现，二分查找， 插值查找和裴波那契查找的基础其实都是：对数组进行分割， 只是各自的标准不同： 二分是从数组的一半分， 插值是按预测的位置分， 而裴波那契是按它数列的数值分。
三个数组以及它们之间的关系。
了解裴波那契查找的算法实现， 最重要的是理解“三个数组”之间的关系，它们分别是：
- 待查找数组 (a)
- 裴波那契数组(fiboArray)
- 填充后数组(filledArray)
裴波那契数组
要按裴波那契数分割， 我们当然要创建一个容纳有裴波那契数的数组，那么，怎么确定这个数组的长度呢？ 或者说， 怎么确定数组里裴波那契数的最大值呢？（最后一个值）
答：只要刚好能满足我们的需要就可以了，裴波那契数组的长度，取的是大于等于待查找数组长度的最小值。原数组长4则取5，长6则取8，长13取13（1、1、2、3、5、8、13、21 ）
填充数组
其次我们要考虑的是： 我们的数组长度不可能总是满足裴波那契数的， 例如5、8、13、21等是裴波那契数， 但我们的数组长度可能是6,7,10这些非裴波那契数， 那这时候怎么办呢？ 总不能对长度为10的待查找数组按照8和13进行第一次分割吧， 所以我们应该按照上面选定的裴波那契数组的最大值， 创建一个等于该长度的填充数组， 将待查找数组的元素依次拷贝到填充数组中， 剩下的部分用原待查找数组的最大值填满。
我们进行查找操作的并不是原待排序数组， 而是对应的填充数组！
查找到填充的部分元素如何处理？
当我们在填充数组中查找成功后，该元素可能来源于在原数组的基础上填充的部分元素（上图黄色9）， 返回的下标(10,11,12)显然是不准确的，而应该返回原数组的最后一个元素的下标(9) 。
所以，解决方法就是： 在填充数组中查找成功后， 判断返回的元素下标和原数组长度的关系，如果：返回下标 > 原数组长度 - 1, 那么改为返回原数组最后一个元素下标就OK了。
查找过程
OK，有了上面的基础我们总结下查找的过程：
- 根据待查找数组长度确定裴波那契数组的长度（或最大元素值）
- 根据1中长度创建该长度的裴波那契数组，再通过F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)生成裴波那契数列为数组赋值
- 以2中的裴波那契数组的最大值为长度创建填充数组，将原待排序数组元素拷贝到填充数组中来， 如果有剩余的未赋值元素， 用原待排序数组的最后一个元素值填充
- 针对填充数组进行关键字查找， 查找成功后记得判断该元素是否来源于后来填充的那部分元素
具体代码
/**
* @Author: HuWan Peng
* @Date Created in 16:54 2017/12/7
*/
public class FibonacciSearch {
/**
* @description: 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
* @param a: 待查找的数组
*/
private static int[] makeFiboArray(int[] a){
int N = a.length;
int first = 1,sec = 1,third=2,fbLength = 2;
int high = a[N-1];
while (third<N) { // 使得裴波那契数不断递增，直到值刚好大于等于原数组长度为止
third = first + sec; // 根据f(n) = f(n-1)+ f(n-2)计算
first = sec;
sec = third;
fbLength++; // 计算最后得到的裴波那契数组的长度
}
int [] fb = new int[fbLength]; // 根据上面计算的长度创建一个空数组
fb[0] = 1; // 第一和一二个数是迭代计算裴波那契数的基础
fb[1] = 1;
for(int i=2;i<fbLength;i++){
fb[i] = fb[i-1] + fb[i-2]; // 将计算出的裴波那契数依次放入上面的空数组中
}
return fb;
}
/**
* @description: 裴波那契查找
*/
public static int search (int [] a, int key) {
int low, high;
int lastA;
int [] fiboArray = makeFiboArray(a); // 创建最大值刚好>=待查找数组长度的裴波纳契数组
int filledLength = fiboArray[fiboArray.length-1];
int [] filledArray = new int[filledLength]; // 创建长度等于裴波那契数组最大值的填充数组
for(int i=0;i<a.length;i++) {
filledArray[i] = a[i]; // 将原待排序数组的元素都放入填充数组中
}
lastA = a[a.length-1]; // 原待排序数组的最后一个值
for (int i=a.length;i<filledLength;i++) {
filledArray[i] = lastA; // 如果填充数组还有空的元素，用原数组最后一个元素值填满
}
low = 0;
high = a.length; // 取得原待排序数组的长度 （注意是原数组！）
int mid;
int k = fiboArray.length -1;
while(low<=high) {
mid = low + fiboArray[k-1]-1;
if(key<filledArray[mid]) {
high = mid-1; // 排除右半边的元素
k= k-1; // f(k-1)是左半边的长度
}else if(key>filledArray[mid]) {
low = mid+1; // 排除左半边的元素
k = k-2; // f(k-2)是右半边的长度
}else {
if(mid>high){ // 说明取到了填充数组末尾的重复元素了
return high;
}else {
return mid; // 说明没有取到填充数组末尾的重复元素
}
}
}
return -1;
}
}
斐波那契查找的轨迹
不依赖数组的斐波那契查找
我百度“斐波那契查找”的时候， 一大部分基于数组实现的代码都是创建了一个长度固定为20的斐波那契数组。
而第20个斐波那契数是6765，所以这样的代码只能处理长度小于等于6765的数组。
于是就有了另一种编写斐波那契数组的方法： 不依赖数组的编码方法
请点这里：
说一下这种方法和我上面介绍的方法的不同点
- 我上面介绍的版本： 先把斐波那契数算出来，再全部用数组存起来， 要用的时候直接从数组里拿就可以了
- 这个版本： 不用数组存， 只算出来需要的最大的斐波那契数， 要用的时候“临时”计算就可以了
二分，插值和裴波纳契查找的性能比较
二分查找：
二分查找的轨迹可以用一颗判定树来表示，例如：将下面的[20,30,40,50,80,90,100]表示为一颗判定树， 因为一开始查找的是位于整个数组1/2 位置的元素50， 所以将50置于根元素位置， 接下来查找的是30或90，所以放到50的子节点的位置。
结合一个结论：具有n个节点的判定树的深度为logn2 + 1, 所以二分查找时候比较次数最多为logn2 + 1,
插值查找
上面也说过了，插值查找只适用于关键字均匀分布的表，在这种情况下， 它的平均性能比二分查找好，在关键字不是均匀分布时， 它的性能表现就不足人意了。
斐波那契查找
斐波那契查找的平均性能比二分查找好， 但最坏情况下的性能（虽然仍然是O(logn)）却比二分查找差，它还有一个优点就是分割时候只需进行加减运算（二分和插值都有乘/除）
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