AI面试题之XGBoost与手推二阶导

机器学习炼丹术

发布于 2020-07-14 14:43:53

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发布于 2020-07-14 14:43:53

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1 作者前言

在2020年还在整理XGB的算法，其实已经有点过时了。不过，主要是为了扩大知识面和应付面试嘛。现在的大数据竞赛，XGB基本上已经全面被LGB模型取代了，这里主要是学习一下Boost算法。之前已经在其他博文中介绍了Adaboost算法和Gradient-boost算法，这篇文章讲解一下XGBoost。

AI面试题之GBDT梯度提升树

2 树模型概述

XGB就是Extreme Gradient Boosting极限梯度提升模型。XGB简单的说是一组分类和回归树（CART）的组合。跟GBDT和Adaboost都有异曲同工之处。【CART=classification adn regression trees】

这里对于一个决策树，如何分裂，如何选择最优的分割点，其实就是一个搜索的过程。搜索怎么分裂，才能让目标函数最小。目标函数如下：

Obj = Loss + \Omega

Obj

就是我们要最小化的优化函数，

Loss

就是这个CART模型的预测结果和真实值得损失。

\Omega

就是这个CART模型的复杂度,类似神经网络中的正则项。【上面的公式就是一个抽象的概念。我们要知道的是：CART树模型即要求预测尽可能准确，又要求树模型不能过于复杂。】

对于回归问题，我们可以用均方差来作为

Loss：

Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}

对于分类问题，用交叉熵是非常常见的,这里用二值交叉熵作为例子：

Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}

总之，这个Loss就是衡量模型预测准确度的损失。

下面看一下如何计算这个模型复杂度

\Omega

吧。

表示叶子节点的数量，

w_j

表示每个叶子节点上的权重（与叶子节点的样本数量成正比）。

【这里有点麻烦的在于，

w_j

是与每个叶子节点的样本数量成正比，但是并非是样本数量。这个

w_j

的求取，要依靠与对整个目标函数求导数，然后找到每个叶子节点的权重值

w_j

。】

3 XGB vs GBDT

其实说了这么多，感觉XGB和GDBT好像区别不大啊？那是因为说了这么多还没开始说XGB呢！之前都是讲树模型的通用概念的。下面讲解XGB~整理一下网上有的说法，再加上自己的理解。有错误请指出评论，谢谢！

3.1 区别1：自带正则项

GDBT中，只是让新的弱分类器来拟合负梯度，那拟合多少棵树才算好呢？不知道。XGB的优化函数中，有一个

\Omega

复杂度。这个复杂度不是某一课CART的复杂度，而是XGB中所有CART的总复杂度。可想而知，每多一颗CART，这个复杂度就会增加他的惩罚力度，当损失下降小于复杂度上升的时候，XGB就停止了。

3.2 区别2：有二阶导数信息

GBDT中新的CART拟合的是负梯度，也就是一阶导数。而在XGB会考虑二阶导数的信息。

这里简单推导一下XGB如何用上二阶导数的信息的：

之前我们得到了XGB的优化函数：

Obj = Loss + \Omega

然后我们把Loss和Omega写的更具体一点：

Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}

我们现在要求取第t个CART模型的优化函数，所以目前我们只是知道前面t-1的模型。所以我们得到：t个CART模型的预测，等于前面t-1个CART模型的预测加上第t个模型的预测。
所以可以得到：

\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}

这里考虑一下特勒展开：

f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f''(x)\Delta x^2

如何把泰勒公式带入呢？

{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}

中的

y_i

其实就是常数，不是变量所以其实这个是可以看成

Loss(\hat{y}_i^t)

,也就是:

Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))

带入泰勒公式，把

f_t(x_i)

看成

\Delta x

：

Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss''(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2

把泰勒展开的东西带回到最开始的优化函数中，删除掉常数项

Loss(\hat{y}_i^{t-1})

(这个与第t个CART模型无关呀)以及前面t-1个模型的复杂度，可以得到第t个CART的优化函数：

Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}

【所以XGB用到了二阶导数的信息，而GBDT只用了一阶的梯度】

3.3 区别3：列抽样

XGB借鉴了随机森林的做法，不仅仅支持样本抽样，还支持特征抽样（列抽样），不仅可以降低过拟合，还可以减少计算。（但是这一点我个人存疑，感觉这个只是代码给出的功能，并不算是XGB本身算法相对GBDT的优势。因为XGB和GBDT明明都可以用列抽样的方法。总之，最关键的区别是二阶导数那个和引入正则项）

4 XGB为什么用二阶导

这个是一个关于XGB的面试进阶题。第一次看到这个问题的时候，一脸懵逼。

【先说自己总结的答案】

使用了二阶导数的信息，加快了收敛速度。
减少了计算量。

4.1 为什么减少了计算量

这个比较理解，就先从这个开始解释。在GBDT中，最花费时间的就是计算分裂点，选择哪个特征，在哪个分割点进行分裂可以得到最小的loss。假设有5个特征，每个特征有100个潜在分割点，那么分类一次需要计算500次。

loss(y,\hat{y}^t)

像之前一样，写成之前所有已经训练完成的弱分类器和正在训练的分类器

loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))

如果计算这个损失的话，我们需要计算500次的

loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))

但是假设使用泰勒展开得到：

loss(\hat{y}^{t-1})+g*f_t(x)+\frac{1}{2}h(f_t(x))^2

其中的

loss(\hat{y}^{t-1})

都是仅仅与之前已经训练完成的决策树相关，所以就是常数，所以是可以在500次的计算中共享，计算一次足以。

4.2 为什么加快收敛速度

这里要回到泰勒展开那里：

f(x+\Delta x) = f(x) + g(x) * \Delta x + \frac{1}{2} h(x) (\Delta x)^2

这个式子其实就可以看成是

F(\Delta x)

,因为

可以看成一个常数。我们希望

F(\Delta x)

最小（也就是损失最小），所以我们对

\Delta x

求导数：导数为0，则是极小值（默认是凸函数）也就是说，更新的步长其实就是一阶导数除以二阶导数。

了解最优化算法的朋友应该可以意识到，这个其实是跟牛顿法等价的。XGB每一次训练一个新的基模型，其实就是再使用牛顿法来对损失函数进行最小值的优化与更新。

【小总结】

因此我个人认为，使用了二阶信息的XGB比使用了一阶信息的GBDT收敛速度快的原因，可以用牛顿法比梯度下降法收敛快来解释。

【为什么牛顿法收敛速度快】

其实这一块我有些解释不清楚了，因为我最优化算法学的也不精（好像突然发现找不到工作的原因了2333）。能给出的是一个比较通俗的解释：　从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。