数据结构技术知识总结之一——二叉树

一. 二叉树

研究 B+ Tree 时发现，B+ Tree 的思想是逐步演化而来的。由二叉查找树 -> 平衡二叉树 -> 2-3 树 -> B 树演变而来；

1.1 二叉查找树

二叉查找树是一个很典型的递归概念：

• 节点 root 的左子树上的任意节点的 key 值都比 root 小；
• 节点 root 的右子树上的任意节点的 key 值都比 root 大；
• root 的左右子树都是二叉查找树；

二叉树的查找效率与二叉树的结构有关，如果是平衡的二叉树，查找效率可以达到 logN，但极端条件下（如只有右子树的情况），则退化成单链表。

注：二叉树的根节点，是第一个插入到二叉树的节点，后续插入删除过程不会更新根节点；

1.2 平衡二叉树 (AVL)

1.3 2-3 树

注：2-3 树是一种比较复杂的数据结构，理解 2-3 树的主要作用，是为了理解红黑树。红黑树是对于 2-3 树的编码实现，并将 2-3 转换为二叉树的形式。

2-3 树最重要的性质就是**插入过程中实现自平衡。**对于插入操作，可以分为两种情况：

• 向 2 节点插入：只需要将 2 节点变为 3 节点即可（且 3 节点内部按照两个 key 值大小也有排序）；
• 向 3 节点插入：先插入到 3 节点中变为 4 节点，然后将 4 节点拆开，中间两个元素 (记作 2, 3) 抽出作为父节点，1 作为父节点的左子树，4 作为父节点的右子树；
  • 如果涉及到多层 3 节点的插入，则一直分裂，直到遇到 2 节点，或者根节点为止；
  • 红黑树的旋转操作，本质上就是 2-3 树插入操作的过程中，为了保证 2-3 树的性质而进行的补充操作；

插入三节点

4. 红黑树

红黑树原本感觉很难，但发现本质上就是一个用红色表示 2 节点的 2-3 树，形式上仍旧使用普通二叉树的形式。这样既有了二叉树的操作，又有 2-3 树的高效率查询（logN）；

注：2-3 树插入时的自平衡操作，被转换为红黑树的左旋、右旋、翻色 (filpColor) 操作；