计算矩阵中全1子矩阵的个数
前言
最近被我大哥安利了一道算法题, 这道题说难, 还不至于我做不出来, 说简单吧, 我还想不到最优解, 等把最优解告诉我之后, 我还正好能理解. 我甚至曾经怯怯的认为, 这题就是我哥专门给我找的, 嘿嘿, 心中说不出的小欢喜.
题来了, 此题出自力扣, 原题链接:
https://leetcode-cn.com/problems/count-submatrices-with-all-ones/
描述: 给你一个只包含 0 和 1 的 rows * columns 矩阵 mat ，请你返回有多少个 子矩形 的元素全部都是 1 。
例子:
输入：mat = [[1,0,1],
[1,1,0],
[1,1,0]]
输出：13
解释：
有 6 个 1x1 的矩形。
有 2 个 1x2 的矩形。
有 3 个 2x1 的矩形。
有 1 个 2x2 的矩形。
有 1 个 3x1 的矩形。
矩形数目总共 = 6 + 2 + 3 + 1 + 1 = 13 。
题意清晰明了, 开始尝试解题(使用 C 来进行解题).
方案一
首先直观上最先想到的, 就是穷举了. 一力破十会. 将所有出现的情况遍历一遍, 然后就能得出总数了. 思路如下:
- 利用
i,j将二维数组的所有节点遍历一遍 - 利用
m,n将以[i][j]为左上顶点的子矩阵遍历一遍 - 判断
i,j,m,n四个变量确定的矩阵是否为全1矩阵
代码实现:
int numSubmat(int** mat, int matSize, int* matColSize){
int result = 0;
// 遍历所有节点
for (int i = 0; i < matSize; i++) {
for (int j = 0; j < *matColSize; j++) {
// 遍历当前节点为左上顶点的所有子矩阵
for (int m = i; m < matSize; m++) {
for (int n = j; n < *matColSize; n++) {
// 判断当前子矩阵是否为全1矩阵
int isOk = 1;
for (int p = i; p <= m; p++) {
for (int q = j; q <= n; q++) {
if(mat[p][q] != 1){
isOk = 0;
break;
}
}
if(!isOk) break;
}
// 计算总数
if(isOk) result++;
}
}
}
}
return result;
}
随手写个测试用:
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int numSubmat(int** mat, int matSize, int* matColSize);
int main() {
// 定义数组长度
int matSize = 3, matColSize = 3;
// 分配数组空间
int **mat = (int **)malloc(matSize*sizeof(int*));
// 动态分配内容
for (int i = 0; i < matSize; i++) {
mat[i] = (int *)malloc(matColSize*sizeof(int));
}
// 给数组填内容, 这里可以接收键盘数组
mat[0][0] = 1;
mat[0][1] = 0;
mat[0][2] = 1;
mat[1][0] = 1;
mat[1][1] = 1;
mat[1][2] = 0;
mat[2][0] = 1;
mat[2][1] = 1;
mat[2][2] = 0;
int result = numSubmat(mat, matSize, &matColSize);
printf("%d", result);
return 0;
}
执行过后, OK, 么的问题. 看一下时间复杂度呢? 一眼就看到了函数里的六层循环, 么的说, O(n^6).
这时, 我大哥说他的时间复杂度是 O(n^3). 那我这小心情, 必须整出来, 再想.
方案二
上面的六层循环中, 能不能想办法去掉一层呢? 有. 在最后判断是否全1的循环中, 如果左上的数字是0, 那必然没有全1子矩阵了
再如果向下找的时候, 碰到0, 那下一列的时候也没必要超过这里了, 因为子矩阵至少有一个0了, 如下图:
image-20200710234204779
在向右遍历的时候同理, 这样, 我们就可以确定, 所有遍历到的值都是1, 可以将判断全1的两层循环去掉. nice. 修改代码如下:
int numSubmat(int** mat, int matSize, int* matColSize){
int result = 0;
// 遍历所有节点
for (int i = 0; i < matSize; i++) {
for (int j = 0; j < *matColSize; j++) {
if(mat[i][j] == 0) continue;
int thisMaxColSize = *matColSize; // 当前向右最大值
// 遍历当前节点为左上顶点的所有子矩阵
for (int m = i; m < matSize; m++) {
for (int n = j; n < thisMaxColSize; n++) {
if(mat[m][n] == 1) result++;
// 记录向右的最大值
else thisMaxColSize = n;
}
}
}
}
return result;
}
OK, 经过测试完全么的问题. 再看看现在的时间复杂度. O(n^4); 比刚才的六次方, 直接降了两个数量级. 但是比我大哥还差点意思哈.
方案三
打扰了, 没有想到O(n^3)的解法. 经过我哥的一番指点, 可以说是豁然开朗. 思路不变. 上面的四层循环, 有没有什么办法能再减少一层呢?
想一下, 我们在第四层循环中, 向右遍历, 找的是什么? 是连续1的个数, 如果我们不用向右遍历, 直接就知道了这个连续1的个数, 那是不是就可以把这一层也省了呢?
那么问题来了, 如何不遍历就知道呢? 预处理. 在所有的遍历之前, 先进行一次遍历, 把每个节点向右的连续1个数计算好. 这个思路有点妙啊. 废话不多说, 再来:
int min(int a, int b){
return a > b ? b : a;
}
int numSubmat(int** mat, int matSize, int* matColSize){
// 进行预处理, 将每个节点向右的连续1个数算好(从右下向左上处理)
for (int i = matSize - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = *matColSize - 1; j >= 0 ; j--) {
if(mat[i][j] == 0) continue;
// 最右侧不处理
if(j == *matColSize-1) continue;
// 每个节点的数字等于右边的加1
mat[i][j] = mat[i][j+1] + 1;
}
}
int result = 0;
// 遍历所有节点
for (int i = 0; i < matSize; i++) {
for (int j = 0; j < *matColSize; j++) {
if(mat[i][j] == 0) continue;
int thisMaxColSize = *matColSize; // 当前向右最大值
// 遍历当前节点为左上顶点的所有子矩阵
for (int m = i; m < matSize; m++) {
// 记录向右的最大值
thisMaxColSize = min(thisMaxColSize, mat[m][j]);
result += thisMaxColSize;
}
}
}
return result;
}
再看时间复杂度, 终于, O(n^3).
还有没有比三次方更快的解法呢? 可能..大概..或许有吧. 但是我想了好久也没有想到.
以上, 其实到第二个方案我都想到了, 但是最后一步怎么都没迈出去, 原因归结为做的少, 遇到的少. 算法题偶尔做做还挺好的, 也不需要很高深的数学知识, 还可以锻炼思维, 蛮有趣的, 之后可以抽时间来看看, 嘿嘿.