随机信号频谱分析用PSD的原因
“正弦信号频谱分析多用幅值谱，单位是g。随机信号频谱分析多用功率谱密度PSD (Power Spectrum Density)，单位是g2/Hz。是否只是使用习惯，还是另有原因？文本将着重进行解释。”
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引子，两个问题及思考
问题1：铁和棉花哪个重？
答：铁，
老铁没毛病～
问题2：1kg铁和1kg棉花哪个重？
答：一样重，
智商没毛病～
当我们回头仔细思考问题1时，更严谨的回答应该是等体积的铁比棉花重，或者问一下各自的质量再作比较。
而日常中问题1没毛病的原因是：我们默认了比较的是密度。
工程上，特别是试验标准（PSD谱线一般作为随机振动试验的输入），要求用最简洁的语言，最少的物理量来准确无歧义的描述问题。
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问题，两个为什么
对信号进行频谱分析时，正弦信号用幅值谱，单位是g，容易理解。
而随机信号多用功率谱密度（PSD），单位是g2/Hz，大家对这种写法及单位往往难以理解。
而“这是一种使用习惯”这个回答并不真诚，如果是一种习惯的话，最初制定者为什么偏偏用这种习惯？
实际上随机信号使用PSD的原因涉及到离散信号频谱分析的一些数学计算，我们要问两个为什么：
1. 分母为什么是Hz，即为什么要除以频率？
2. 分子为什么要平方，即为什么是能量单位？
03
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不相关的话题，相关的思考
在回答上一节问题前，先了解一个不相关的话题：概率统计。
图1，是对信号进行分布点统计。将幅值范围划分成很多bins，每个bin都有相同的宽度△bin，统计信号在各个bin下的点数。
图1
因为图1统计的点数取决于所分析信号时间的长短，所以需要用百分比的形式来消除时间长度的影响，如图2右图。
图2
图3，将图2百分比除以△bin，即得到概率密度图，此图才是重点。
图3
下面对两种类型的信号进行分析：
A. 正态分布（高斯分布）的随机信号：
图4，图5是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比，可以看出两张图的柱状图高度并不一致（图4右图量程0.1，图5右图量程0.2，水印挡住了坐标轴
）。
因为△bin越大，就有越多的点被分配到该柱状图内。
图4
图5
图6，图7是分别基于图4，图5除以各自的△bin，得到概率密度柱状图，可以看出两个结果一致，且都和理论上的正态分布曲线（红色曲线）相吻合。
图6
图7
补充：正态分布随机信号的概率密度函数为：
所以，为了用不同△bin都能得出该随机信号是正态分布的结论，基于最简要原则，对于该随机信号采用概率密度函数的方式进行概率统计。
B. 单一幅值的信号：
图8，图9是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比，可以看出两张图的柱状图高度均为1。
因为△bin的改变，并不影响分配到该柱状图内的百分比，所以没有必要再额外除以△bin。
图8
图9
所以，不同△bin都能得出相同的分布百分比，基于最简要原则，不需要计算概率密度。
总结：
随机信号，很多信号杂糅在一起，由于△bin不同，会影响百分比大小，需要除以△bin，所以用概率密度来表示，是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果；
单一信号，△bin不同，不会影响百分比大小。所以不用除以△bin，也是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。
这跟铁和棉花的问题具有类似的思考……
04
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回归主题，随机与正弦频谱
在对信号进行频谱分析时，频率分辨率△f就相当于上一节介绍的△bin，同时需要强调：△f=1/T (T为分析数据块的时间长度）。
PSD的计算公式为：时域信号傅立叶变换后的频谱幅值平方，除以2倍频率分辨率，再乘以窗函数能量修正系数。
注意：A为频谱peak值。
图10，图11分别对比了同一随机信号不同△f下的平均幅值谱（单位g,没有除以△f）和平均功率谱密度PSD。可以看出只有PSD是一致的。
图10
图11
图12，图13分别对比了同一正弦信号不同△f下的幅值谱（单位g,没有除以△f）可以看出幅值是一致的，不需要除以△f。
图12
图13
随机信号为什么用PSD的总结：
1. 分母为什么是Hz，即为什么要除以频率？
随机信号是不同频率信号杂糅在一起，由于频率分辨率△f不同，会影响各频率下频谱能量幅值的大小，需要除以△f，用PSD表示，是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。
2. 分子为什么要平方，即为什么是能量单位？
频率分辨率△f不同是由于分析的数据块时间长度T不同导致的。对于随机信号，不同的时间长度T内，统计特征RMS是一致的，即能量特征是一致的。
由于PSD谱线在频谱上包络的面积开根号是RMS值，等于时域上的RMS，再加上随机信号的频谱谱线多是由平均得到，故在能量上进行平均计算会得到比较好的一致性。