“正弦信号频谱分析多用幅值谱,单位是g。随机信号频谱分析多用功率谱密度PSD (Power Spectrum Density),单位是g2/Hz。是否只是使用习惯,还是另有原因?文本将着重进行解释。”
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引子,两个问题及思考
问题1:铁和棉花哪个重?
答:铁,
老铁没毛病~
问题2:1kg铁和1kg棉花哪个重?
答:一样重,
智商没毛病~
当我们回头仔细思考问题1时,更严谨的回答应该是等体积的铁比棉花重,或者问一下各自的质量再作比较。
而日常中问题1没毛病的原因是:我们默认了比较的是密度。
工程上,特别是试验标准(PSD谱线一般作为随机振动试验的输入),要求用最简洁的语言,最少的物理量来准确无歧义的描述问题。
02
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问题,两个为什么
对信号进行频谱分析时,正弦信号用幅值谱,单位是g,容易理解。
而随机信号多用功率谱密度(PSD),单位是g2/Hz,大家对这种写法及单位往往难以理解。
而“这是一种使用习惯”这个回答并不真诚,如果是一种习惯的话,最初制定者为什么偏偏用这种习惯?
实际上随机信号使用PSD的原因涉及到离散信号频谱分析的一些数学计算,我们要问两个为什么:
1. 分母为什么是Hz,即为什么要除以频率?
2. 分子为什么要平方,即为什么是能量单位?
03
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不相关的话题,相关的思考
在回答上一节问题前,先了解一个不相关的话题:概率统计。
图1,是对信号进行分布点统计。将幅值范围划分成很多bins,每个bin都有相同的宽度△bin,统计信号在各个bin下的点数。
图1
因为图1统计的点数取决于所分析信号时间的长短,所以需要用百分比的形式来消除时间长度的影响,如图2右图。
图2
图3,将图2百分比除以△bin,即得到概率密度图,此图才是重点。
图3
下面对两种类型的信号进行分析:
A. 正态分布(高斯分布)的随机信号:
图4,图5是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比,可以看出两张图的柱状图高度并不一致(图4右图量程0.1,图5右图量程0.2,水印挡住了坐标轴
)。
因为△bin越大,就有越多的点被分配到该柱状图内。
图4
图5
图6,图7是分别基于图4,图5除以各自的△bin,得到概率密度柱状图,可以看出两个结果一致,且都和理论上的正态分布曲线(红色曲线)相吻合。
图6
图7
补充:正态分布随机信号的概率密度函数为:
所以,为了用不同△bin都能得出该随机信号是正态分布的结论,基于最简要原则,对于该随机信号采用概率密度函数的方式进行概率统计。
B. 单一幅值的信号:
图8,图9是对同一信号分别采用不同的△bin计算分布百分比,可以看出两张图的柱状图高度均为1。
因为△bin的改变,并不影响分配到该柱状图内的百分比,所以没有必要再额外除以△bin。
图8
图9
所以,不同△bin都能得出相同的分布百分比,基于最简要原则,不需要计算概率密度。
总结:
随机信号,很多信号杂糅在一起,由于△bin不同,会影响百分比大小,需要除以△bin,所以用概率密度来表示,是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果;
单一信号,△bin不同,不会影响百分比大小。所以不用除以△bin,也是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。
这跟铁和棉花的问题具有类似的思考……
04
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回归主题,随机与正弦频谱
在对信号进行频谱分析时,频率分辨率△f就相当于上一节介绍的△bin,同时需要强调:△f=1/T (T为分析数据块的时间长度)。
PSD的计算公式为:时域信号傅立叶变换后的频谱幅值平方,除以2倍频率分辨率,再乘以窗函数能量修正系数。
注意:A为频谱peak值。
图10,图11分别对比了同一随机信号不同△f下的平均幅值谱(单位g,没有除以△f)和平均功率谱密度PSD。可以看出只有PSD是一致的。
图10
图11
图12,图13分别对比了同一正弦信号不同△f下的幅值谱(单位g,没有除以△f)可以看出幅值是一致的,不需要除以△f。
图12
图13
随机信号为什么用PSD的总结:
1. 分母为什么是Hz,即为什么要除以频率?
随机信号是不同频率信号杂糅在一起,由于频率分辨率△f不同,会影响各频率下频谱能量幅值的大小,需要除以△f,用PSD表示,是为了避免因为分析参数选取不同而导致不同的结果。
2. 分子为什么要平方,即为什么是能量单位?
频率分辨率△f不同是由于分析的数据块时间长度T不同导致的。对于随机信号,不同的时间长度T内,统计特征RMS是一致的,即能量特征是一致的。
由于PSD谱线在频谱上包络的面积开根号是RMS值,等于时域上的RMS,再加上随机信号的频谱谱线多是由平均得到,故在能量上进行平均计算会得到比较好的一致性。