傅立叶变换公式解析

“傅立叶变换是信号分析的基础。看到公式的瞬间，就有想要放弃的感觉～ 让我们从目的出发，逐步展现它的逻辑之美”

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傅立叶变换：公式

以下是傅立叶变换的公式，将时间域的函数x(t)转变成频率域的函数X(f)，是不是很烧（想）脑（死）？

该公式的目的是：将时域信号中包含的各正/余弦信号的幅值和初始相位计算出来。请记住这个目的，然后忘记这个公式。下面我们将逐步去解析这个公式的由来。

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傅立叶变换：目的

一个时域信号，可以写成若干个余弦信号的叠加，我们的目的是：想要知道这一系列余弦信号的幅值a和初始相位fai。

怎样才能做到如此精细的提取呢？

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神奇的萃取剂：正/余弦信号

如果把这个时域信号x(t)乘以一个给定频率的余弦函数（该余弦函数频率恰好和组成x(t)的某个频率一致），神奇的事情发生了：

只有黄色区域是常数，其余都是余弦项。这太棒了，我们已经初步从x(t)中萃取出频率是f1的幅值和初始相位了。

但这还不够，渣子毕竟还是要筛除干净。我们知道对正/余弦函数进行长周期的积分并除以周期后，得到的结果将趋近于0；而同样的操作对于常数项来说，结果仍是常数：

至此，更精细的萃取已经完成。

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萃取剂组合拳：余弦萃取 & 正弦萃取

刚才用的是余弦函数，如果用正弦函数会怎样呢（正弦函数的计算同上，就不再赘述）？下面直接给出结果对比：

大家会发现单纯的用余弦或正弦萃取，其各自的结果是幅值和初始相位混在了一起。所以需要用组合拳，用有技巧的组合拳。也就是上表最后一列。

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接近真相：欧拉公式

欧拉公式，世界十大最美公式排名第2（傅立叶变换公式排名第9）：

是不是和上表最后一列最后一行很像？Yes, it is! （注意下面的公式中没有除以总时间T, 一般在应用中需要除以总时间T或在离散应用中除以总数N).

该公式是对用正余弦组合拳萃取工作的高度概括和归纳，又结合了美丽的欧拉公式，堪称完美。至此，傅立叶变换公式的解析结束。

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总结：凡人，数学家与庸师

之前堆叠了很多的公式，想必能读到这儿的读者已经击败了全国80%的对手。总结一下，怎样提取x(t)中包含的一列余弦信号的幅值和初始相位？

凡人：

1）将x(t)乘以频率是5Hz的余弦信号，然后各点加和，然后除以总时长，得到数值m。

2）将x(t)乘以频率是5Hz的负正弦信号，然后各点加和，然后除以总时长，得到数值n。

3）将m和n平方和开根号，得到x(t)中频率是5Hz信号的幅值，将n除以m，即得到x(t)中频率是5Hz信号的tan(fai), 从而用反正切求出初始相位。

4）用1）2）3）中的方法计算一下x(t)中频率是6Hz的信号成分。接着是7Hz, 8Hz，9Hz (如果x(t)中没有9Hz的信号，计算的结果是0，所以不用担心所选的萃取剂不合拍，一个一个频率算下去就得了）。。。

。。。

n）用1）2）3）中的方法计算一下x(t)中频率是2000Hz(最高频率举例）的信号成分。

数学家：

看着凡人的操作，心中默念：愚蠢的人类，微微一笑，写下了如下的公式。

庸师：

上手就将上面的公式写在黑板或PPT上, 从此将学生划分隔离为：凡人和数学家……