离散傅立叶变换及相关解析

“前一篇文章我们讲解了傅立叶变换的理论公式，而实际工程应用中采集到的信号都是离散的数据，采用的是离散傅立叶变换。让我们继续解析一下其推导过程及相关概念”

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离散傅立叶变换：公式及目的

以下是傅立叶变换和离散傅立叶变换的公式。

因为工程应用都是采集到离散的数据，而且没有负的时间，所以傅立叶变换的应用多是以下公式，并且都是基于以下第二个公式进行离散计算。

该公式的目的是：将离散的时域信号中包含的各正/余弦信号的幅值和初始相位计算出来。

即要计算上面一系列余弦信号的幅值a和初始相位fai。

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离散傅立叶变换：算例

在深入解析离散傅立叶变换前，我们先拿8个数据的傅立叶变换结果来说明几个重要的参数：采样频率Fs, 采样点数N。

下图第一幅图是时域信号。

采样频率Fs=16Hz, 表示:1秒内采集16个数据点。

采样点数N=8, 表示:整段数据有8个数据点。

下面是一道小学栽树计算题:

下图第二幅图是对时域信号的傅立叶变换。

采样频率Fs=16Hz, 表示:最高分析频率接近Fs。

采样点数N=8, 表示:整段数据有8个数据点。

同样的小学栽树计算题：

有一个原则：时域上有N个点，离散傅立叶变换后频域上仍是N个点。

需要注意的是：工程应用中N的值一般是2的指数倍，且较大，所以栽树效应不是这么明显，即N和N-1没有这么严格区分，即 T=N/Fs, Fmax=Fs。

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神奇的萃取剂：正/余弦信号

01章节提到傅立叶变换的公式在工程应用中，积分区间是0到T, 然后再除以T。该计算对应下表中的结果：

从表中可以看出积分区间在（0, T)的计算是积分区间在(-T, T)区间的一半。

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离散傅立叶变换：公式推导

下面内容是：傅立叶变换应用公式 —> 离散傅立叶变换应用公式 的推导：

推导前有2点（结合02章节）需要注意：

那么下面就直接上公式：

公式推导完毕，读者可以仅记住公式推导的结论即可。

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离散傅立叶变换：总结

根据以下公式及以下算例：

对离散傅立叶变换应用后有如下总结：

1. 数据的序列属于程序员思维：第0个数，第1个数，。。。第N-1个数；且N多为2的指数倍。

2. 第0个数：各点之和除以N,即均值，或称直流分量。

2. 第N/2个数：偶数点之和-奇数点之和，除以N（第0个点称为偶数）。

3. 其他点：以中心频率Fs/2为对称，成复数共轭。

我们的最终目的是得到时域信号x(t)中的余弦信号的幅值a和初始相位fai。如果全文没有把这件事情讲清楚的话，只需要记住以下几点和步骤：

1. 离散信号傅立叶变换，因为大多数软件算法基本上是采用理论公式，故变换后的结果要除以N。

2. 除以N后，第0个数是直流分量，即x(t)均值。

3. 除以N后，各频率下得到的是复数，从第1个数到第N/2-1个数（不包括第0个数）需要乘以2，然后求模和相位角才能得到各频率下的幅值和相位。

4. 第N/2个数到第N-1个数可以不用理会（根据采样定理，分析频率要小于采样频率Fs的一半）。

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离散傅立叶变换后各点特点：延伸部分

本章主要解释一下：变换后为什么除第0个点和第N/2个点外，各点会以中心频率对称互为共轭。正是这种对称共轭，也为快速傅立叶变换提供了很好的数学算法，这里就不再赘述。

以上公式中，第0个点和第N/2个点属于特例：

其他的点类似于下图中的：第1个点和第7个点共轭，第2个点和第6个点共轭，第3个点和第5个点共轭。

但是第0个点（1）和第4个点（-1）不共轭。

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文末总结

本篇和上一篇都详细讲解了傅立叶变换的公式推导，应用及思考过程。这是一个艰难的入门，很难解释清楚又不能跳过。只有理解了这些基本概念和应用才能对后续的内容有深刻的体会。

后面的文章将会以实际应用及案例为主，不会出现这么多的公式，可读性会稍好一点。文中所有的图片均基于python编程（作者更习惯用Matlab，python也是刚刚学习），一般是先编程把所有数据及图表输出，然后再编辑成文。所以文章更新速度会略慢，见谅。