振动试验规范对比——振动力学方程求解 Part1

“前几篇文章介绍了振动耐久试验常用的类型：正弦扫频，宽频随机，正弦叠加随机，半正弦冲击。接下来的几篇文章将对这些试验类型作深入的对比。在这之前，需要先基础的介绍振动力学方程及其求解。”

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前言，文章内容构架

为了讲解振动试验中各试验类型的对比，本文及之后的几篇文章将介绍如下内容：

振动力学方程求解 Part1：简谐振动理论求解

振动力学方程求解 Part2：Duhamel积分求解

冲击响应求解：

正弦扫频，宽频随机响应求解：

……

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数学模型，基础激励下的受迫振动

产品在振动台上做振动耐久试验，其数学模型如图1。

振动台控制基础Base（产品固定在振动夹具上的位置）的振动加速度，产品内部元器件M（如PCB板、电容、电感、芯片等）受到基础的强迫振动后产生相应的振动响应，从而和基础发生相对位移。

相对位移产生应力应变，长时间应力应变导致结构疲劳失效。

正如一首歌唱的那样：“一个人不孤单，想念一个人才孤单”。

振动疲劳失效正是：“随动不危险，相对运动才要命～

”。

图1

需要注意的是：图1中M的振动平衡位置，是在重力平衡后的初始位置，所以力学方程中没有M的重力参与其中。

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基础简谐振动下，力学方程的求解

基础Base简谐振动下（图1），力学方程见图2黄色部分，理论解见图2绿色部分：

图2

需要说明的是：方程的解分为两部分，衰减项和稳定项。我们常说的传递函数（幅值比，相位差）指的是稳定项。

衰减项由结构的初始条件确定，一般系统衰减项持续时间较短，所以很少去考虑它。

下面，我们将构造一个m=1, c=502, k=1579100 的系统：

使得，wn=1256.6rad，即自然频率fn=200Hz（我们常说的共振频率）

使得，阻尼比（即图2中蓝色部分第一个变量Zeta）为0.2

来看看M的振动响应情况。

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基础简谐振动下，M低频响应

令，基础Base的位移是小于自然频率fn，幅值为1的正弦信号，如果只考虑求解稳定项的话：

则，M的位移: 幅值比为1.1，相位差为0rad（图3右图）;

则，M的相对位移: 幅值比为0.1，相位差为-0.1rad（图3左图）。

图3

即，M和Base运动幅值和方向一致，几乎没有相对运动，较安全。如图4。

图4

图5是方程的精确解。即，衰减项（由初始条件确定，在0时刻，M的位移为0，速度为0）和稳定项的叠加：

图5右图中间的两条曲线：黑色为衰减项，黄色为稳定项（黄线和图4红线一致）。红色曲线是黑色和黄色曲线的叠加。

图5

视频1是图5的视频展示：

视频1

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基础简谐振动下，M共振响应

令，基础Base的位移是接近自然频率fn，幅值为1的正弦信号，如果只考虑求解稳定项的话：

则，M的位移: 幅值比为2.7，相位差为-1.2rad（图6右图）;

则，M的相对位移: 幅值比为2.5，相位差为-1.6rad（图6左图）。

图6

即，M和Base产生了共振，结构有较大相对位移，如图7。实际上，图7中，M的响应，初始位移和初始速度不为0，这和实际不符。

图7

图8是方程的精确解。即，衰减项（由初始条件确定，在0时刻，M的位移为0，速度为0）和稳定项的叠加：

图8右图中间的两条曲线：黑色为衰减项，黄色为稳定项（黄线和图7红线一致）。红色曲线是黑色和黄色曲线的叠加。

图8

视频2是图8的视频展示：

视频2

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基础简谐振动下，M高频响应

令，基础Base的位移是大于自然频率fn，幅值为1的正弦信号，如果只考虑求解稳定项的话：

则，M的位移: 幅值比为0.4，相位差为-2.2rad（图9右图）;

则，M的相对位移: 幅值比为1.3，相位差为-2.9rad（图9左图）。

图9

即，M对Base的高频激励来不及响应，故位移幅值较小，如图10。

图10

图11是方程的精确解。即，衰减项（由初始条件确定，在0时刻，M的位移为0，速度为0）和稳定项的叠加：

图11右图中间的两条曲线：黑色为衰减项，黄色为稳定项（黄线和图10红线一致）。红色曲线是黑色和黄色曲线的叠加。

图11

视频3是图11的视频展示：

视频3

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毫无底线的硬广告

有些产品在振动台上做耐久试验时，需要运转起来或带载进行。不久前我们进行了三合一电机（即电桥）在振动台上的试验。

在进行试验时，电桥需要运转起来，其中需要驱动控制、冷却、动力负载、联动停机等。该负载设备由“上海迦锐自动化检测科技有限公司”设计和制作，保证了试验的高质高效进行。

该公司范老板是我的前同事，多年前我还在公司附近租房子的时候，我们有着近一年的共同拼车的美好经历。

如今范老板创业，打造了以新能源汽车测试设备、温度过程控制设备、汽车零部件测试设备为主，自动化装配设备、环境试验设备、工程服务为辅的一系列产品，并为之提供全方位服务的公司。

在这里，发自内心的为我佩服的创业人范老板做一下土味推广：

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总结

本篇之所以介绍基础简谐振动下的力学方程求解，是因为很多信号可以通过傅立叶变换，拆分成各正/余弦信号的叠加，如果只考虑解的稳定项时，求解非简谐振动下的响应可以在频域上结合传递函数进行求解。

但是，如果考虑到衰减项的话，用Duhamel积分的方法会更容易一些。下一篇将用易懂的图示来讲解求解动力学方程的另一种方法：Duhamel积分。

在编程制作Base和Mass振动动画视频时，想起了这样一段话：

教育本质是:一棵树摇动另一棵树,一朵云推动另一朵云,一个灵魂唤醒另一个灵魂。——卡尔·雅斯贝尔斯

这种感受，在辅导孩子作业时，尤为强烈～

（如下图）

这个时代，每个人，每个年龄段，只要找到合适的频率，运用合适的方法，都可以是那棵树，那朵云和那个唤醒与被唤醒的灵魂。