振动试验规范对比——振动力学方程求解 Part2

“前一篇文章介绍了简谐振动激励下的动力学方程理论解，工程应用中的输入激励一般不会是单纯的正/余弦信号。本篇将介绍更一般的求解：Duhamel积分。”

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数学模型

本篇仍用上一篇的数学模型，如图1：

图1

参数也同上一篇：m=1, c=502, k=1579100 。

使得，fn=200Hz；阻尼比（Zeta）为0.2

令Base在200Hz的正弦位移激励下，Mass的响应如图2右图红线。

图2

我们将用Duhamel积分来计算Mass响应，从而和图2中理论解进行对比。

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方程Duhamel积分求解公式

需要强调的是：Duhamel积分应用在线性系统。公式求解如图3：

图3

图3红色部分是该系统单位脉冲响应函数；

本篇重点解释：图3最后一排公式的右侧积分项，即：Duhamel积分。

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Duhamel积分图解

输入激励f(t)可以认为是由一系列不同时刻脉冲信号（注意单位脉冲和脉冲的区别）组成，如图4上图。

因为是线性系统，基于单位脉冲响应函数（图3），可以求得不同时刻脉冲信号对应的脉冲响应函数，如图4上图和下图相同颜色的曲线。

图4a 动图

图4b

一系列脉冲响应函数叠加，即Duhamel积分，如图5。

图5下图黑色曲线，是图4下图一系列响应曲线的叠加。该叠加过程即Duhamel积分。

图5a 动图

图5b

将图5下图黑色曲线（即图3最后一排公式的右侧积分项）和左侧项相加，即得到Mass的相对位移ur。

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Duhamel积分和理论解的对比

图6是Duhamel积分算得的Mass绝对位移和上一篇理论解的对比，其计算结果一致。

图6

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总结及下篇介绍

从如图7可以看出，纯正弦激励下，响应并不是从0时刻开始即进入纯正/余弦响应，需要等待一段时间，进入稳定项后才是。

和Duhamel积分不同，频域计算有如下步骤：

1. 将激励信号进行傅立叶变换，转换成一系列正/余弦信号。

2. 将这一系列正/余弦信号乘以系统传递函数（注意，该传递函数是稳态项的幅值比和相位差）。

3. 将乘以传递函数后得到的一系列正/余弦信号叠加（反傅立叶变换）得到响应。

问题就出在第2步，第2步实际上用的是图8的结果，忽略了衰减项。

所以，频域求解过程如果不关注系统初始响应的话，是没有问题的（图7红线和图8红线在0.01s后趋于一致）。

图7

图8

而Duhamel积分可以解决初始响应的问题。

优点：任意离散信号f(t)均可用来计算；

缺点：f(t)时域数据越长,计算量越大。

故，在求解短时响应时，Duhamel积分更常用，且计算的结果会更准确。

有了以上的知识储备，下一篇就可以介绍怎样比较不同冲击激励对结构的严酷程度了。

有问题请指正，谢谢！