Arctan的快速近似算法

写在前面

如果\(arctan\)的计算成为了瓶颈，那么是时候对其进行优化了。

\(arctan\)的近似计算本质上是在所需精度范围内对\(arctan\)曲线进行拟合，比较直接的想法是泰勒展开，

\[\arctan (x)=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\ldots \]

根据需要的精度，确定展开多少项，但\(arctan\)的泰勒展开在\(x\)接近1时，收敛较慢，并不高效。

另一个直接的想法是查表，根据所需精度，正切值定点化后，将其对应的角度保存成表，计算时，根据最近的正切值查表，一般需要较大的内存空间。

需要注意的是，\(arctan(x)\)返回的是\((-\pi/2, \pi/2)\)， \(arctan2(y, x)\)返回的范围是\((-\pi, \pi ]\)，因为后者可以根据\(x\)和\(y\)的正负确定位于哪个象限。实际上，只需近似或存储\([0, \pi/2]\)即可（即八象限中的第一象限），若输入向量\((x, y)\)，根据\(x\)和\(y\)的正负和大小关系，可以折算到所有的八个象限。

此外，CORDIC（COordinate Rotation DIgital Computer）算法也是个选择，仅涉及移位和加法操作，但仍需要迭代。

Arctan快速近似计算

这里，罗列paper 《Efficient Approximations for the Arctangent Function 》中的7种近似算法，这些近似算法通过Lagrange interpolation和minimax optimization techniques得到，最大近似误差和所需计算如下所示，

从上到下依次为，

• 线性近似，最大近似误差 \(0.07 \ rad = 4^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• 二阶近似，最大近似误差 \(0.0053 \ rad = 0.3^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+0.285 x(1-|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• 搜索更佳的系数，最大近似误差 \(0.0038 \ rad = 0.22^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+0.273 x(1-|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• \(\alpha x^{3}+\beta x\)形式的三阶近似，最大近似误差 \(0.005 \ rad = 0.29^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x+x\left(0.186982-0.191942 x^{2}\right), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• \(x(x-1)(\alpha x-\beta)\)形式的三阶近似，最大近似误差 \(0.0015 \ rad = 0.086^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{\pi}{4} x-x(|x|-1)(0.2447+0.0663|x|), \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• \(x /\left(1+\beta x^{2}\right)\)形式的近似，最大近似误差 \(0.0047 \ rad = 0.27^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{x}{1+0.28086 x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

• 另一个近似，最大近似误差 \(0.0049 \ rad = 0.28^{\circ}\)，

\[\arctan (x) \approx \frac{x}{1+0.28125 x^{2}}, \quad-1 \leq x \leq 1 \]

实际使用时，可先定点化，按需选取。

以上。

参考

• Streamlining Digital Signal Processing: A Tricks of the Trade Guidebook
• FAST APPROXIMATE ARCTAN/ATAN FUNCTION