RMSD计算中的Kabsch算法简介

• Jun 14, 2020 更正错误
• Oct 7, 2019 初版

RMSD即均方根偏差（root mean square deviation）。设有两组向量P和Q，每组向量有N个维度为D的向量，因此P和Q可以看做N×D矩阵，那么这两组向量的RMSD为

若两组向量相同，则RMSD为零。若两组向量差别变大，则RMSD的值也会随之增大。RMSD可以量化两组向量之间的偏差，所以在计算化学中被用于衡量两个构象的相似度。

在计算RMSD之前首先要将向量平移和旋转，使两组向量达到最大重合的状态，才能得到最小的RMSD值。在比较两个构象的相似度时，不对构型进行平移和旋转操作得到的RMSD值是没有意义的。

Kabsch算法是一种计算最优旋转矩阵的算法。因为Kabsch算法只计算旋转矩阵，所以在计算之前需要将两组向量的几何中心移动到原点。而为了计算旋转矩阵，需要先计算协方差矩阵。Kabsch算法的总流程是

1. 将两组向量的几何中心平移到原点

2. 计算协方差矩阵

3. 计算旋转矩阵

1. 将两组向量的几何中心平移到原点

假设平移之前的两组向量如下图所示

可以看到这两组向量还远没有达到最大重合的状态。

首先计算每组向量的几何中心（centroid），计算公式为

随后每组向量的每个向量均减去相应的几何中心的坐标，即可将两组向量的几何中心平移到原点。

平移后的两组向量如下所示

平移后两组向量的重合程度增加了，但是由于没有旋转，RMSD值仍然偏大。

2. 计算协方差矩阵

协方差矩阵H的计算公式为

3. 计算旋转矩阵

旋转矩阵最简单的计算方法是做SVD。首先对协方差矩阵H做SVD

为了保证旋转操作后得到的坐标系依然是右手坐标系，需要对SVD的结果做符号检查。

其中sign(x)指x的符号，当x>0时，sign(x)=1；当x<0时，sign(x)=−1。最优的旋转矩阵为

令P=PR，即可得到旋转后的P。

旋转后的两组向量如下所示

很明显，经过旋转操作后，两组向量的重合程度达到最大值，此时RMSD最小。

参考资料：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Kabsch_algorithm
• http://nghiaho.com/?page_id=671
• https://github.com/charnley/rmsd