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一文教你搞懂C语言的Q格式

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GorgonMeducer 傻孩子
发布2020-07-29 11:31:46
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发布2020-07-29 11:31:46
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文章被收录于专栏:裸机思维

用过DSP的应该都知道Q格式吧;

  • 1 前言
  • 2 Q数据的表示
    • 2.1 范围和精度
    • 2.2 推导
  • 3 Q数据的运算
    • 3.1 0x7FFF
    • 3.2 0x8000
    • 3.3 加法
    • 3.4 减法
    • 3.5 乘法
    • 3.6 除法
  • 4 常见Q格式的数据范围
  • 5 0x5f3759df
  • 6 总结

1 前言

Q格式是二进制的定点数格式,相对于浮点数,Q格式指定了相应的小数位数和整数位数,在没有浮点运算的平台上,可以更快地对浮点数据进行处理,以及应用在需要恒定分辨率的程序中(浮点数的精度是会变化的); 需要注意的是Q格式是概念上小数定点,通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数,从而达到所需要的数值范围和精度,这里可能有点抽象,下面继续看介绍。

2 Q数据的表示

2.1 范围和精度

定点数通常表示为

Q_{m.n}

,其中m为整数个数,n为小数个数,其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储;

  • 范围:
[-(2^{m-1}),2^{m-1}-2^{-n}]
  • 精度:
2^{-n}

无符号的用

UQ_{m.n}

表示;

  • 范围:
[0,2^m-2^{-n}]
  • 精度:
2^{-n}

2.2 推导

无符号Q格式数据的推导这里以一个16位无符号整数为例,

UQ_{9.7}

所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示;

所以不难看出,

UQ_{9.7}

的范围大小和精度;根据等比数列求和公式得到,整数域最大值如下:

Sumi = 2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 2^9 -1

小数域最大值如下:

Sumf = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}+2^{-7}=1-2^{-7}

因此

UQ_{9.7}

的范围满足

[0,2^9-2^{-7}]

有符号Q格式数据的推导这里以一个16位有符号整数为例,

UQ_{9.7}

所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示;

所以不难求出,

UQ_{9.7}

的范围大小和精度;根据等比数列求和公式得到,整数域最大值如下:

Sumi = 2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0 = 2^8 -1

小数域最大值如下:

Sumf = 2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-5}+2^{-6}+2^{-7}=1-2^{-7}

因此

Q_{9.7}

最大能表示的数为:

2^8-2^{-7}

Q_{9.7}

所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示;

可以从图中看到,该数表示为

-2^8

补充一下:负数在计算机中是补码的形式存在的,补码=反码+1,符号位为1则表示为负数; 那么-4该如何表示呢? 以8 bit数据为例,如下所示; 原码:0B 0000 100 反码:0B 1111 011 补码:0B 1111 100

综上,可以得到有符号

Q_{9.7}

的范围是:

[-2^8,2^8-2^{-7}]

3 Q数据的运算

3.1 0x7FFF

最大数的十六进制为0x7FFF,如下图所示;

3.2 0x8000

最小数的十六进制为0X8000,如下图所示;

上述这两种情况,下面都会用到。

3.3 加法

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同,即

Q_{m_1.n_1}

Q_{m_2.n_2}

满足以下条件;

\begin{cases} m_1 = m_2 \\ n_1 = n_2 \end{cases}
代码语言:javascript
复制
int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)
{
    return a + b;
}

上面的程序其实并不安全,在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令,但是通常需要做一下溢出检测,具体如下所示;

代码语言:javascript
复制
//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t tmp;

    tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;
    if (tmp > 0x7FFF)
        tmp = 0x7FFF;
    if (tmp < -1 * 0x8000)
        tmp = -1 * 0x8000;
    result = (int16_t)tmp;

    return result;
}

3.4 减法

类似于加法的操作,需要相同定标的两个Q格式数进行相减,但是不会存在溢出的情况;

代码语言:javascript
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//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)
{
    return a - b;
}

3.5 乘法

乘法同样需要考虑溢出的问题,这里通过sat16函数,对溢出做了处理;

代码语言:javascript
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//https://great.blog.csdn.net/
// precomputed value:
#define K   (1 << (Q - 1))
 
// saturate to range of int16_t
int16_t sat16(int32_t x)
{
    if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;
    else if (x < -0x8000) return -0x8000;
    else return (int16_t)x;
}

int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)
{
    int16_t result;
    int32_t temp;

    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type
    // Rounding; mid values are rounded up
    temp += K;
    // Correct by dividing by base and saturate result
    result = sat16(temp >> Q);

    return result;
}

3.6 除法

代码语言:javascript
复制
//https://great.blog.csdn.net/
int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)
{
    /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */
    int32_t temp = (int32_t)a << Q;
    /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */
    /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */
    if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {   
        temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */
    } else {
        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */
    }
    return (int16_t)(temp / b);
}

4 常见Q格式的数据范围

定点数

X_q

和浮点数

X_f

转换的关系满足以下公式:

\begin{cases} X_q = (int)X_f*2^n \\ \\ X_f = (float)X_f*2^{-n} \end{cases}

其中

X_q

Q_{m.n}

m表示整数位数,n表示小数位数;

代码语言:javascript
复制
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>


int main()
{
    // 0111 1111 1111 1111
    int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF
    // 1000 0000 0000 0000
    int16_t q_min = -32768; // 0x8000
    float f_max = 0;
    float f_min = 0;
    printf("\r\n");
    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {
        f_max = (float)q_max / pow(2,i);
        f_min = (float)q_min / pow(2,i);

        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",
               i,(15-i),i,f_max,f_min);
    }

    return 0;
}

运行得到结果如下所示;

Q

Qmn

Max

Min

Q 15

Q 0.15

0.999969

-1.000000

Q 14

Q 1.14

1.999939

-2.000000

Q 13

Q 2.13

3.999878

-4.000000

Q 12

Q 3.12

7.999756

-8.000000

Q 11

Q 4.11

15.999512

-16.000000

Q 10

Q 5.10

31.999023

-32.000000

Q 9

Q 6.9

63.998047

-64.000000

Q 8

Q 7.8

127.996094

-128.000000

Q 7

Q 8.7

255.992188

-256.000000

Q 6

Q 9.6

511.984375

-512.000000

Q 5

Q 10.5

1023.968750

-1024.000000

Q 4

Q 11.4

2047.937500

-2048.000000

Q 3

Q 12.3

4095.875000

-4096.000000

Q 2

Q 13.2

8191.750000

-8192.000000

Q 1

Q 14.1

16383.500000

-16384.000000

Q 0

Q 15.0

32767.000000

-32768.000000

5 0x5f3759df

Q格式虽然十分抽象,但是且看看这个数字0x5f3759df,感觉和Q格式有某种联系,它是雷神之锤3中的一个算法的魔数,毕竟游戏引擎需要充分考虑到效率,具体的由来可以看一下论文《Fast Inverse Square Root》,下面是源码中剥出来的快速平方根算法;

代码语言:javascript
复制
float Q_rsqrt( float number )
{
 long i;
 float x2, y;
 const float threehalfs = 1.5F;

 x2 = number * 0.5F;
 y   = number;
 i   = * ( long * ) &y;   // evil floating point bit level hacking
 i   = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
 y   = * ( float * ) &i;
 y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
 // y   = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed

 #ifndef Q3_VM
 #ifdef __linux__
   assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
 #endif
 #endif
 return y;
}  

6 总结

本文介绍了Q格式的表示方式以及相应的运算,另外需要注意在Q格式运算的时候,两者定标必须相同,对于数据的溢出检测也要做相应的处理。

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原始发表:2020-07-28,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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  • 1 前言
  • 2 Q数据的表示
    • 2.1 范围和精度
      • 2.2 推导
      • 3 Q数据的运算
        • 3.1 0x7FFF
          • 3.2 0x8000
            • 3.3 加法
              • 3.4 减法
                • 3.5 乘法
                  • 3.6 除法
                  • 4 常见Q格式的数据范围
                  • 5 0x5f3759df
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