冷月虐哭数一之高等数学(1)-递归数列极限的求法和证明

前言

高等数学是理工科考研都需要考的科目之一，不管是数一、数二、数三都是考纲中的内容。而极限又是高数中的基础，是微分学的基础。所以，我们一定要打好基础，才能在考试中拿到高分。冷月总结了递归数列极限的求法和证明，希望能够帮助到各位小伙伴。本文为李正元数一全书为参考。

方法论

如果有一个数列极限 an 满足递归方程a{n+1} = f(a_n)(n=1,2,3,4,5,6)，其中f是一个已知的一元连续函数，则称数列{an}为递归函数。

由递归的定义可以知，由a1可以求出a2，由a2可以求出a3，由a3可以求出a4，依次类推可以求出an。

一般，常考题型会给出第一项，也就是a1，然后给出递归表达式，然后让我们求出n ->无穷，an的极限。

下面，冷月给出两个方法：

1.先证明递归数列{an}收敛(常用单调有界数列必有极限)，然后设lim n->无穷 Xn = A，再对递归方程an+1 = f(an)取极限A=f(A)，最后解出极限即可。

2.先设lim n->无穷 Xn = A，对递归方程an+1 = f(an)取极限A=f(A)解出A，再用适当方法证明lim n->无穷 = A(一般用极限的定义)。

注意： 我们在讨论数列的单调性时，可以利用递归函数f(x)的单调性来判断。因为， a_{n+1} = f(a_n)若an属于区间I，若f(x)在区间I中单调递增，且a2>a1（a2<a1）,那么数列{an}单增(单减)；若f(x)在区间I中单调递减，数列{an}不具有单调性。

例题

1.

第一题对应方法论中的一，题目中给出了a1的范围和递推推导式，那么只需要先证明数列有界，利用推导式的单调性判断出数列单调即可证明数列{an}单调有界，那么它必有极限。再设lim an = A (n->无穷)，联立推导式即可解出A。这道题属于常规的题。

2.

第一题对应方法论中的二，题目中给出了a1的范围和递推推导式，但是推导式单调递减，那么数列不具备单调性。但是非单调的数列也可以存在极限。我们不能一棍子打死。我们可以先设lim an = A (n->无穷)，联立推导式即可解出A。由题可见A是存在的，但是我们只是假设，一定要验证。这里使用数列极限的定义来证明，不懂的小伙伴可以加关注冷月的其他博文，有详细讲解。

总结

这类题，数一、数二很喜欢考，但是很多的小伙伴都弄不清楚。大家可以先把上面的两道题搞清楚，在找一些类似的题做一下，相信一定可以拿下这类题的。