基于最小二乘后向DNN网络的高维衍生品定价方法及验证

编者按：金融衍生品定价是量化金融中最为关键的问题，当考虑多种因素进行价格评估时会遇到“维数灾难”，这种高度非线性的拟合问题正是神经网络擅长解决的，本文中的最小二乘后向DNN方法（LSQ-BDNN方法）在前面研究基础上提出了将LSQ嵌入DNN的思路，在百慕大期权和CYN中得到了精确性和时效性的验证。

概述

将深度学习求解方法与最小二乘蒙特卡罗方法中广泛应用的最小二乘回归技术相结合，提出了一种求解高维衍生品定价问题的前向-后向随机微分方程求解方法。

我们的数值实验证明了我们的最小二乘后向深度神经网络求解器的效率和准确性，以及它为复杂的早期练习衍生品(如可赎回票据)提供精确价格的能力。

我们的方法可以作为一种通用的数值求解方法，为不同资产类别的衍生品定价，特别是作为一种高效的手段，为具有早期实际特征的高维衍生品定价。

背景

最常见的衍生品类型是期货合约、远期合约、掉期和期权。树法、偏微分方程法（PDE）和蒙特卡罗法是复杂衍生品定价的三种主要方法。据我们所知，最小二乘蒙特卡罗算法是实践者应用最广泛的具有早期练习特征的高维导数定价算法。

本文提出了一种基于深度学习的最小二乘正倒向随机微分方程求解器，特别针对具有早期实际特征的高维衍生品定价问题。我们的算法可用于一般的漂移函数，并使用最小二乘回归来确定早期情况的最优条件。

方法介绍：最小二乘后向DNN方法

验证

我们使用百慕大期权和可赎回债券作为例子来检验我们的最小二乘后向DNN方法，并与PDE和蒙特卡罗结果进行比较。

百慕大期权是一种外来期权，只能在预先确定的日期行使。百慕大期权可以在到期日行使，也可以在购买日和到期日之间的特定日期行使。百慕大期权是美国期权(在到期日之前和包括到期日在内的任何日期均可执行)和欧洲期权(仅在到期日可执行)的混合体。

可赎回债券(CYN)，也被称为发行人可赎回债券中最差的一种，是一种收益率增强产品，其性能由发行人担保的票面利率封顶。顾名思义，发行方可以根据自己的判断调用产品，通常是在预定义的观察日期。基础实体通常由几只股票或股指组成，从而使其成为基于最坏功能的产品。CYN的调用通知日期通常与优惠券记录日期相同。

我们的有限差分PDE求解器只适用于一维和二维情况。对于MC求解器，我们使用M = 1000000个抽样路径来估计均值。请注意，1M和500K之间的相对差异小于0.5%。深层神经网络设置在我们的测试中如下:每个sub-neural网络包括4层，每层包括1个d维输入层，2个d+10维隐藏层，1个d维输出层组成，其中d为底层实体的数量。

在测试中，我们运行5000次优化迭代的训练，并验证训练后的DNN每100次迭代。这产生了50个结果。我们用损失函数值最小的10个结果的平均值作为导数值。MC采样大小为M = 5000。

前向和后向DNN在欧洲看涨期权定价中的对比

百慕大看涨期权，2个底层股票情况下的定价对比

百慕大看涨期权，5个底层股票情况下的定价对比

CYN定价对比，2个底层股票

CYN定价对比，5个底层股票

小结

正向DNN方法更适合欧式衍生品定价，反向DNN方法可能不能充分解释早期的实际特征。在我们的方法中，我们嵌入了最小二乘回归技术，类似于最小二乘蒙特卡罗方法的反向DNN算法。对百慕大期权和可赎回收益率注记的数值测试结果表明，与PDE法和蒙特卡罗法相比，我们的最小二乘后向DNN方法可以得到准确的结果，相对误差只有0.3%或更低。该方法适用于大多数衍生品定价，包括障碍期权、美国期权、可转换债券等。

综上所述，我们的最小二乘后向DNN算法可以作为一种通用的衍生品定价数值求解器，并且它对于具有早期实际特征的高维衍生品是最有效的，我们的计算效率测试证明了这一点。

作者 | Jian Liang等

编译 | 九三山人

报道 | 决策智能与机器学习（ID: AIfreak）

资料 | 算法文档资料下载，请在公众号回复：20190728