吴恩达机器学习笔记15-矩阵与向量的乘法

本文是吴恩达《机器学习》视频笔记第15篇，对应第1周第15个视频。

“Linear Algebra review(optional)——Matrix-vector multiplication”

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笔记

上一小节讲了矩阵的加法、矩阵和标量相乘；除此之外，矩阵还可以和矩阵相乘，本节讲稍微特殊一点的情况，即矩阵和向量相乘。

一个示例

如下图，让一个3×2的矩阵和一个2维的列向量相乘，会得到什么样的结果呢？

其运算的规则如下图，

从上图可知，矩阵和向量的乘法规则比较有意思，一个矩阵和一个向量乘得到一个新的列向量。而结果列向量的维数就是矩阵的行数，等式左边的矩阵和向量的形状也比较有意思，矩阵的列数必须等于向量的维数，只有这样才能进行矩阵和向量的乘法。上面这个例子，一个3×2的矩阵和一个2×1的向量相乘，得到一个3×1的向量。

矩阵、向量相乘的过程

把上面的特例抽象成更一般的形式如下图：

一个m×n的矩阵乘一个n×1的向量，这里要注意矩阵的列数必须等于向量的行数才能相乘，得到的结果是一个m×1的向量。

而且我们还可以看出，在做矩阵和向量的乘法时，它们的次序也很重要。一个列向量和矩阵乘，矩阵必须在前面、列向量必须在后面。比如：

那么，我们费事巴拉地规定这种矩阵和向量的乘法有啥用呢？

我们还是以卖房子的事为例，假设我有四套房，每个房的面积不同，而房屋面积和房屋售价之间的线性模型我已经确定了。

如下图：

上图中，如果把左边四套房的面积代入右边的式子中，就可以得分别得到四套房的售价。如果我们用刚刚讲到的矩阵和向量的乘法表示上面这个事，写出来的式子会非常漂亮。如下图：

我们把模型中的两个参数揪出来组成一个列向量。然后呢，因为-40参数对应的是1，而0.25对应的是x，所以得到一个4×2的一个矩阵，而矩阵的第1列都是1. 就会得到上面图中下半部分的这样的一个矩阵与向量乘法的式子，再利用前面讲的矩阵与向量乘法的运算规则，可以用一个式子就表示出4套房子的售价的运算，厉害吧？

有些同学可能觉得这种写法多此一举，更加麻烦。要注意，现在我们基础的运算都是用计算机来实现的，如果用代码来写这样的过程就更加容易了，这样一件事用一行代码就搞定了，而且房子的套数增加不会影响程序的结构，非常方便。如果没有这样的规定，我们可能需要for循环在代码中实现这个事情，这就有点麻烦了。

下一讲将介绍更一般的矩阵和矩阵的乘法。